Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29424 / 15536
↖ ↑ ↗
← N 68.301905°
W 18.369140°		 ← 225.82 m → N 68.301905°
W 18.363647°		 →
↑
225.85 m
↓
↑
225.85 m
↓
N 68.299873°
W 18.369140°		 ← 225.84 m →
51 004 m²		 N 68.299873°
W 18.363647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448982238769531 y=0.237068176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448982238769531 × 216)
    floor (0.448982238769531 × 65536)
    floor (29424.5)     		tx = 29424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237068176269531 × 216)
    floor (0.237068176269531 × 65536)
    floor (15536.5)     		ty = 15536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29424 / 15536 ti = "16/29424/15536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29424/15536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29424 ÷ 216
    29424 ÷ 65536     		x = 0.448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15536 ÷ 216
    15536 ÷ 65536     		y = 0.237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32060198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237060546875 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32060198} λ = -0.32060198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65209730850562))-π/2
    2×atan(5.21791193024908)-π/2
    2×1.38144472310452-π/2
    2.76288944620904-1.57079632675     		φ = 1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32060198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.369140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29424 KachelY 15536 -0.32060198 1.19209312 -18.369140 68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 29425 KachelY 15536 -0.32050611 1.19209312 -18.363647 68.301905
    Unten links KachelX 29424 KachelY + 1 15537 -0.32060198 1.19205767 -18.369140 68.299873
    Unten rechts KachelX + 1 29425 KachelY + 1 15537 -0.32050611 1.19205767 -18.363647 68.299873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19209312-1.19205767) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dl = 225.851949999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19209312-1.19205767) × R
    3.54499999999369e-05 × 6371000     		dr = 225.851949999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32060198--0.32050611) × cos(1.19209312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 225.817932917921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32060198--0.32050611) × cos(1.19205767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369748809830958 × 6371000     		du = 225.8380510168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19209312)-sin(1.19205767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.369748809830958)×R²
    abs(-0.32050611--0.32060198)×3.29379530299989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29379530299989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29379530299989e-05×40589641000000     		ar = 51003.6923559549m²