Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29423 / 22991
↖ ↑ ↗
← N 47.223299°
W 18.374634°		 ← 414.86 m → N 47.223299°
W 18.369140°		 →
↑
414.88 m
↓
↑
414.88 m
↓
N 47.219568°
W 18.374634°		 ← 414.88 m →
172 121 m²		 N 47.219568°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448966979980469 y=0.350822448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448966979980469 × 216)
    floor (0.448966979980469 × 65536)
    floor (29423.5)     		tx = 29423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350822448730469 × 216)
    floor (0.350822448730469 × 65536)
    floor (22991.5)     		ty = 22991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29423 / 22991 ti = "16/29423/22991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29423/22991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29423 ÷ 216
    29423 ÷ 65536     		x = 0.448959350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22991 ÷ 216
    22991 ÷ 65536     		y = 0.350814819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448959350585938 × 2 - 1) × π
    -0.102081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32069786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350814819335938 × 2 - 1) × π
    0.298370361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.937358135170578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32069786} λ = -0.32069786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937358135170578))-π/2
    2×atan(2.55322721922513)-π/2
    2×1.19749918800287-π/2
    2.39499837600574-1.57079632675     		φ = 0.82420205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32069786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.374634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82420205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.223299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29423 KachelY 22991 -0.32069786 0.82420205 -18.374634 47.223299
    Oben rechts KachelX + 1 29424 KachelY 22991 -0.32060198 0.82420205 -18.369140 47.223299
    Unten links KachelX 29423 KachelY + 1 22992 -0.32069786 0.82413693 -18.374634 47.219568
    Unten rechts KachelX + 1 29424 KachelY + 1 22992 -0.32060198 0.82413693 -18.369140 47.219568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82420205-0.82413693) × R
    6.51200000000296e-05 × 6371000     		dl = 414.879520000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82420205-0.82413693) × R
    6.51200000000296e-05 × 6371000     		dr = 414.879520000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32069786--0.32060198) × cos(0.82420205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679142881937673 × 6371000     		do = 414.855434563061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32069786--0.32060198) × cos(0.82413693) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.679190678974484 × 6371000     		du = 414.884631453736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82420205)-sin(0.82413693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679142881937673-0.679190678974484)×R²
    abs(-0.32060198--0.32069786)×4.77970368109037e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77970368109037e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77970368109037e-05×40589641000000     		ar = 172121.080217733m²