Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29422 / 22990
↖ ↑ ↗
← N 47.227029°
W 18.380127°		 ← 414.78 m → N 47.227029°
W 18.374634°		 →
↑
414.82 m
↓
↑
414.82 m
↓
N 47.223299°
W 18.380127°		 ← 414.81 m →
172 065 m²		 N 47.223299°
W 18.374634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448951721191406 y=0.350807189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448951721191406 × 216)
    floor (0.448951721191406 × 65536)
    floor (29422.5)     		tx = 29422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350807189941406 × 216)
    floor (0.350807189941406 × 65536)
    floor (22990.5)     		ty = 22990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29422 / 22990 ti = "16/29422/22990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29422/22990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29422 ÷ 216
    29422 ÷ 65536     		x = 0.448944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22990 ÷ 216
    22990 ÷ 65536     		y = 0.350799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.10211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32079373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350799560546875 × 2 - 1) × π
    0.29840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.937454008969818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32079373} λ = -0.32079373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937454008969818))-π/2
    2×atan(2.55347201855369)-π/2
    2×1.19753174286155-π/2
    2.39506348572309-1.57079632675     		φ = 0.82426716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32079373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.380127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82426716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.227029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29422 KachelY 22990 -0.32079373 0.82426716 -18.380127 47.227029
    Oben rechts KachelX + 1 29423 KachelY 22990 -0.32069786 0.82426716 -18.374634 47.227029
    Unten links KachelX 29422 KachelY + 1 22991 -0.32079373 0.82420205 -18.380127 47.223299
    Unten rechts KachelX + 1 29423 KachelY + 1 22991 -0.32069786 0.82420205 -18.374634 47.223299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82426716-0.82420205) × R
    6.51099999999794e-05 × 6371000     		dl = 414.815809999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82426716-0.82420205) × R
    6.51099999999794e-05 × 6371000     		dr = 414.815809999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32079373--0.32069786) × cos(0.82426716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679095089361382 × 6371000     		do = 414.78297524898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32079373--0.32069786) × cos(0.82420205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.679142881937673 × 6371000     		du = 414.812166370075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82426716)-sin(0.82420205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679095089361382-0.679142881937673)×R²
    abs(-0.32069786--0.32079373)×4.77925762907283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77925762907283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77925762907283e-05×40589641000000     		ar = 172064.590381937m²