Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29421 / 22987
↖ ↑ ↗
← N 47.238219°
W 18.385620°		 ← 414.74 m → N 47.238219°
W 18.380127°		 →
↑
414.75 m
↓
↑
414.75 m
↓
N 47.234489°
W 18.385620°		 ← 414.77 m →
172 020 m²		 N 47.234489°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448936462402344 y=0.350761413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448936462402344 × 216)
    floor (0.448936462402344 × 65536)
    floor (29421.5)     		tx = 29421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350761413574219 × 216)
    floor (0.350761413574219 × 65536)
    floor (22987.5)     		ty = 22987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29421 / 22987 ti = "16/29421/22987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29421/22987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29421 ÷ 216
    29421 ÷ 65536     		x = 0.448928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22987 ÷ 216
    22987 ÷ 65536     		y = 0.350753784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448928833007812 × 2 - 1) × π
    -0.102142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32088961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350753784179688 × 2 - 1) × π
    0.298492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.937741630367538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32088961} λ = -0.32088961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937741630367538))-π/2
    2×atan(2.55420655737419)-π/2
    2×1.19762939369163-π/2
    2.39525878738326-1.57079632675     		φ = 0.82446246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32088961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.385620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82446246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.238219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29421 KachelY 22987 -0.32088961 0.82446246 -18.385620 47.238219
    Oben rechts KachelX + 1 29422 KachelY 22987 -0.32079373 0.82446246 -18.380127 47.238219
    Unten links KachelX 29421 KachelY + 1 22988 -0.32088961 0.82439736 -18.385620 47.234489
    Unten rechts KachelX + 1 29422 KachelY + 1 22988 -0.32079373 0.82439736 -18.380127 47.234489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82446246-0.82439736) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dl = 414.752100000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82446246-0.82439736) × R
    6.51000000000401e-05 × 6371000     		dr = 414.752100000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(0.82446246) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		do = 414.73866080255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(0.82439736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.67899951025509 × 6371000     		du = 414.767855758565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82446246)-sin(0.82439736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678951716385432-0.67899951025509)×R²
    abs(-0.32079373--0.32088961)×4.77938696575864e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77938696575864e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77938696575864e-05×40589641000000     		ar = 172019.784914457m²