Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29421 / 18911
↖ ↑ ↗
← N 60.329667°
W 18.385620°		 ← 302.38 m → N 60.329667°
W 18.380127°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
N 60.326948°
W 18.385620°		 ← 302.40 m →
91 433 m²		 N 60.326948°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448936462402344 y=0.288566589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448936462402344 × 216)
    floor (0.448936462402344 × 65536)
    floor (29421.5)     		tx = 29421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288566589355469 × 216)
    floor (0.288566589355469 × 65536)
    floor (18911.5)     		ty = 18911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29421 / 18911 ti = "16/29421/18911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29421/18911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29421 ÷ 216
    29421 ÷ 65536     		x = 0.448928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18911 ÷ 216
    18911 ÷ 65536     		y = 0.288558959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448928833007812 × 2 - 1) × π
    -0.102142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32088961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288558959960938 × 2 - 1) × π
    0.422882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32852323607024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32088961} λ = -0.32088961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32852323607024))-π/2
    2×atan(3.77546379995802)-π/2
    2×1.31187382646225-π/2
    2.62374765292449-1.57079632675     		φ = 1.05295133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32088961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.385620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05295133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.329667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29421 KachelY 18911 -0.32088961 1.05295133 -18.385620 60.329667
    Oben rechts KachelX + 1 29422 KachelY 18911 -0.32079373 1.05295133 -18.380127 60.329667
    Unten links KachelX 29421 KachelY + 1 18912 -0.32088961 1.05290387 -18.385620 60.326948
    Unten rechts KachelX + 1 29422 KachelY + 1 18912 -0.32079373 1.05290387 -18.380127 60.326948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05295133-1.05290387) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05295133-1.05290387) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(1.05295133) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.495008832412715 × 6371000     		do = 302.376877892356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(1.05290387) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.495050069276937 × 6371000     		du = 302.402067491896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05295133)-sin(1.05290387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495008832412715-0.495050069276937)×R²
    abs(-0.32079373--0.32088961)×4.12368642223049e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.12368642223049e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.12368642223049e-05×40589641000000     		ar = 91432.7972836714m²