Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29421 / 18907
↖ ↑ ↗
← N 60.340542°
W 18.385620°		 ← 302.28 m → N 60.340542°
W 18.380127°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
N 60.337823°
W 18.385620°		 ← 302.30 m →
91 383 m²		 N 60.337823°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448936462402344 y=0.288505554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448936462402344 × 216)
    floor (0.448936462402344 × 65536)
    floor (29421.5)     		tx = 29421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288505554199219 × 216)
    floor (0.288505554199219 × 65536)
    floor (18907.5)     		ty = 18907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29421 / 18907 ti = "16/29421/18907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29421/18907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29421 ÷ 216
    29421 ÷ 65536     		x = 0.448928833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18907 ÷ 216
    18907 ÷ 65536     		y = 0.288497924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448928833007812 × 2 - 1) × π
    -0.102142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32088961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288497924804688 × 2 - 1) × π
    0.423004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3289067312672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32088961} λ = -0.32088961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3289067312672))-π/2
    2×atan(3.77691194985312)-π/2
    2×1.31196872740511-π/2
    2.62393745481021-1.57079632675     		φ = 1.05314113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32088961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.385620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05314113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.340542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29421 KachelY 18907 -0.32088961 1.05314113 -18.385620 60.340542
    Oben rechts KachelX + 1 29422 KachelY 18907 -0.32079373 1.05314113 -18.380127 60.340542
    Unten links KachelX 29421 KachelY + 1 18908 -0.32088961 1.05309368 -18.385620 60.337823
    Unten rechts KachelX + 1 29422 KachelY + 1 18908 -0.32079373 1.05309368 -18.380127 60.337823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05314113-1.05309368) × R
    4.74500000000599e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05314113-1.05309368) × R
    4.74500000000599e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(1.05314113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.494843908566196 × 6371000     		do = 302.276133916622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32088961--0.32079373) × cos(1.05309368) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.494885141199271 × 6371000     		du = 302.30132093156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05314113)-sin(1.05309368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494843908566196-0.494885141199271)×R²
    abs(-0.32079373--0.32088961)×4.12326330753721e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.12326330753721e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.12326330753721e-05×40589641000000     		ar = 91383.0763581515m²