Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29420 / 22716
↖ ↑ ↗
← N 48.239309°
W 18.391113°		 ← 406.80 m → N 48.239309°
W 18.385620°		 →
↑
406.85 m
↓
↑
406.85 m
↓
N 48.235650°
W 18.391113°		 ← 406.83 m →
165 512 m²		 N 48.235650°
W 18.385620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448921203613281 y=0.346626281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448921203613281 × 216)
    floor (0.448921203613281 × 65536)
    floor (29420.5)     		tx = 29420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346626281738281 × 216)
    floor (0.346626281738281 × 65536)
    floor (22716.5)     		ty = 22716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29420 / 22716 ti = "16/29420/22716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29420/22716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29420 ÷ 216
    29420 ÷ 65536     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22716 ÷ 216
    22716 ÷ 65536     		y = 0.34661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34661865234375 × 2 - 1) × π
    0.3067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.963723429961609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963723429961609))-π/2
    2×atan(2.62143906900315)-π/2
    2×1.20636554877165-π/2
    2.4127310975433-1.57079632675     		φ = 0.84193477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84193477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.239309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29420 KachelY 22716 -0.32098548 0.84193477 -18.391113 48.239309
    Oben rechts KachelX + 1 29421 KachelY 22716 -0.32088961 0.84193477 -18.385620 48.239309
    Unten links KachelX 29420 KachelY + 1 22717 -0.32098548 0.84187091 -18.391113 48.235650
    Unten rechts KachelX + 1 29421 KachelY + 1 22717 -0.32088961 0.84187091 -18.385620 48.235650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84193477-0.84187091) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dl = 406.85206000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84193477-0.84187091) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dr = 406.85206000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32088961) × cos(0.84193477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666020864302854 × 6371000     		do = 406.797398481004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32088961) × cos(0.84187091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		du = 406.826492703179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84193477)-sin(0.84187091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666020864302854-0.666068498233336)×R²
    abs(-0.32088961--0.32098548)×4.76339304817941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76339304817941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76339304817941e-05×40589641000000     		ar = 165512.278153105m²