Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29420 / 18910
↖ ↑ ↗
← N 60.332386°
W 18.391113°		 ← 302.32 m → N 60.332386°
W 18.385620°		 →
↑
302.30 m
↓
↑
302.30 m
↓
N 60.329667°
W 18.391113°		 ← 302.35 m →
91 396 m²		 N 60.329667°
W 18.385620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448921203613281 y=0.288551330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448921203613281 × 216)
    floor (0.448921203613281 × 65536)
    floor (29420.5)     		tx = 29420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288551330566406 × 216)
    floor (0.288551330566406 × 65536)
    floor (18910.5)     		ty = 18910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29420 / 18910 ti = "16/29420/18910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29420/18910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29420 ÷ 216
    29420 ÷ 65536     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18910 ÷ 216
    18910 ÷ 65536     		y = 0.288543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288543701171875 × 2 - 1) × π
    0.42291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32861910986948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32861910986948))-π/2
    2×atan(3.7758257853686)-π/2
    2×1.31189755466277-π/2
    2.62379510932554-1.57079632675     		φ = 1.05299878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05299878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.332386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29420 KachelY 18910 -0.32098548 1.05299878 -18.391113 60.332386
    Oben rechts KachelX + 1 29421 KachelY 18910 -0.32088961 1.05299878 -18.385620 60.332386
    Unten links KachelX 29420 KachelY + 1 18911 -0.32098548 1.05295133 -18.391113 60.329667
    Unten rechts KachelX + 1 29421 KachelY + 1 18911 -0.32088961 1.05295133 -18.385620 60.329667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05299878-1.05295133) × R
    4.74500000000599e-05 × 6371000     		dl = 302.303950000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05299878-1.05295133) × R
    4.74500000000599e-05 × 6371000     		dr = 302.303950000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32088961) × cos(1.05299878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494967603122624 × 6371000     		do = 302.320158533506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32088961) × cos(1.05295133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495008832412715 × 6371000     		du = 302.345340879659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05299878)-sin(1.05295133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494967603122624-0.495008832412715)×R²
    abs(-0.32088961--0.32098548)×4.12292900914824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12292900914824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12292900914824e-05×40589641000000     		ar = 91396.3844677864m²