Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29419 / 18900
↖ ↑ ↗
← N 60.359564°
W 18.396606°		 ← 302.07 m → N 60.359564°
W 18.391113°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
N 60.356847°
W 18.396606°		 ← 302.09 m →
91 263 m²		 N 60.356847°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448905944824219 y=0.288398742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448905944824219 × 216)
    floor (0.448905944824219 × 65536)
    floor (29419.5)     		tx = 29419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288398742675781 × 216)
    floor (0.288398742675781 × 65536)
    floor (18900.5)     		ty = 18900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29419 / 18900 ti = "16/29419/18900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29419/18900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29419 ÷ 216
    29419 ÷ 65536     		x = 0.448898315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18900 ÷ 216
    18900 ÷ 65536     		y = 0.28839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448898315429688 × 2 - 1) × π
    -0.102203369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32108135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28839111328125 × 2 - 1) × π
    0.4232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32957784786188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32108135} λ = -0.32108135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32957784786188))-π/2
    2×atan(3.77944754888544)-π/2
    2×1.31213472797255-π/2
    2.62426945594511-1.57079632675     		φ = 1.05347313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32108135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.396606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05347313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.359564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29419 KachelY 18900 -0.32108135 1.05347313 -18.396606 60.359564
    Oben rechts KachelX + 1 29420 KachelY 18900 -0.32098548 1.05347313 -18.391113 60.359564
    Unten links KachelX 29419 KachelY + 1 18901 -0.32108135 1.05342571 -18.396606 60.356847
    Unten rechts KachelX + 1 29420 KachelY + 1 18901 -0.32098548 1.05342571 -18.391113 60.356847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05347313-1.05342571) × R
    4.74200000000202e-05 × 6371000     		dl = 302.112820000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05347313-1.05342571) × R
    4.74200000000202e-05 × 6371000     		dr = 302.112820000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32108135--0.32098548) × cos(1.05347313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494555379315807 × 6371000     		do = 302.068377273799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32108135--0.32098548) × cos(1.05342571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494596593668729 × 6371000     		du = 302.093550496512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05347313)-sin(1.05342571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494555379315807-0.494596593668729)×R²
    abs(-0.32098548--0.32108135)×4.12143529218145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12143529218145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12143529218145e-05×40589641000000     		ar = 91262.5318847808m²