Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29418 / 15592
↖ ↑ ↗
← N 68.187889°
W 18.402100°		 ← 226.97 m → N 68.187889°
W 18.396606°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
N 68.185849°
W 18.402100°		 ← 226.99 m →
51 510 m²		 N 68.185849°
W 18.396606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448890686035156 y=0.237922668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448890686035156 × 216)
    floor (0.448890686035156 × 65536)
    floor (29418.5)     		tx = 29418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237922668457031 × 216)
    floor (0.237922668457031 × 65536)
    floor (15592.5)     		ty = 15592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29418 / 15592 ti = "16/29418/15592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29418/15592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29418 ÷ 216
    29418 ÷ 65536     		x = 0.448883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15592 ÷ 216
    15592 ÷ 65536     		y = 0.2379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.10223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32117723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2379150390625 × 2 - 1) × π
    0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32117723} λ = -0.32117723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64672837574817))-π/2
    2×atan(5.18997238185371)-π/2
    2×1.38044975428378-π/2
    2.76089950856757-1.57079632675     		φ = 1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32117723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.402100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29418 KachelY 15592 -0.32117723 1.19010318 -18.402100 68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 29419 KachelY 15592 -0.32108135 1.19010318 -18.396606 68.187889
    Unten links KachelX 29418 KachelY + 1 15593 -0.32117723 1.19006756 -18.402100 68.185849
    Unten rechts KachelX + 1 29419 KachelY + 1 15593 -0.32108135 1.19006756 -18.396606 68.185849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19010318-1.19006756) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19010318-1.19006756) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32117723--0.32108135) × cos(1.19010318) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 226.97046889892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32117723--0.32108135) × cos(1.19006756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.37159715080496 × 6371000     		du = 226.990669532976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19010318)-sin(1.19006756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.37159715080496)×R²
    abs(-0.32108135--0.32117723)×3.3069632664029e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.3069632664029e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.3069632664029e-05×40589641000000     		ar = 51509.8400203758m²