Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29417 / 18920
↖ ↑ ↗
← N 60.305185°
W 18.407593°		 ← 302.57 m → N 60.305185°
W 18.402100°		 →
↑
302.62 m
↓
↑
302.62 m
↓
N 60.302464°
W 18.407593°		 ← 302.60 m →
91 569 m²		 N 60.302464°
W 18.402100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448875427246094 y=0.288703918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448875427246094 × 216)
    floor (0.448875427246094 × 65536)
    floor (29417.5)     		tx = 29417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288703918457031 × 216)
    floor (0.288703918457031 × 65536)
    floor (18920.5)     		ty = 18920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29417 / 18920 ti = "16/29417/18920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29417/18920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29417 ÷ 216
    29417 ÷ 65536     		x = 0.448867797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18920 ÷ 216
    18920 ÷ 65536     		y = 0.2886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448867797851562 × 2 - 1) × π
    -0.102264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32127310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2886962890625 × 2 - 1) × π
    0.422607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32766037187708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32127310} λ = -0.32127310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32766037187708))-π/2
    2×atan(3.77220749251005)-π/2
    2×1.31166018369146-π/2
    2.62332036738293-1.57079632675     		φ = 1.05252404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32127310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.407593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05252404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.305185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29417 KachelY 18920 -0.32127310 1.05252404 -18.407593 60.305185
    Oben rechts KachelX + 1 29418 KachelY 18920 -0.32117723 1.05252404 -18.402100 60.305185
    Unten links KachelX 29417 KachelY + 1 18921 -0.32127310 1.05247654 -18.407593 60.302464
    Unten rechts KachelX + 1 29418 KachelY + 1 18921 -0.32117723 1.05247654 -18.402100 60.302464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05252404-1.05247654) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dl = 302.622499999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05252404-1.05247654) × R
    4.74999999999781e-05 × 6371000     		dr = 302.622499999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32127310--0.32117723) × cos(1.05252404) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495380054341625 × 6371000     		do = 302.572078693793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32127310--0.32117723) × cos(1.05247654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495421315909403 × 6371000     		du = 302.597280754763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05252404)-sin(1.05247654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495380054341625-0.495421315909403)×R²
    abs(-0.32117723--0.32127310)×4.12615677782835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12615677782835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12615677782835e-05×40589641000000     		ar = 91568.9322569756m²