Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29417 / 18916
↖ ↑ ↗
← N 60.316068°
W 18.407593°		 ← 302.47 m → N 60.316068°
W 18.402100°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N 60.313348°
W 18.407593°		 ← 302.50 m →
91 500 m²		 N 60.313348°
W 18.402100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448875427246094 y=0.288642883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448875427246094 × 216)
    floor (0.448875427246094 × 65536)
    floor (29417.5)     		tx = 29417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288642883300781 × 216)
    floor (0.288642883300781 × 65536)
    floor (18916.5)     		ty = 18916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29417 / 18916 ti = "16/29417/18916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29417/18916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29417 ÷ 216
    29417 ÷ 65536     		x = 0.448867797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18916 ÷ 216
    18916 ÷ 65536     		y = 0.28863525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448867797851562 × 2 - 1) × π
    -0.102264404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32127310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28863525390625 × 2 - 1) × π
    0.4227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32804386707404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32127310} λ = -0.32127310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32804386707404))-π/2
    2×atan(3.7736543933874)-π/2
    2×1.31175515580649-π/2
    2.62351031161298-1.57079632675     		φ = 1.05271398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32127310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.407593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05271398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.316068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29417 KachelY 18916 -0.32127310 1.05271398 -18.407593 60.316068
    Oben rechts KachelX + 1 29418 KachelY 18916 -0.32117723 1.05271398 -18.402100 60.316068
    Unten links KachelX 29417 KachelY + 1 18917 -0.32127310 1.05266650 -18.407593 60.313348
    Unten rechts KachelX + 1 29418 KachelY + 1 18917 -0.32117723 1.05266650 -18.402100 60.313348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05271398-1.05266650) × R
    4.74800000000997e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05271398-1.05266650) × R
    4.74800000000997e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32127310--0.32117723) × cos(1.05271398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495215049020656 × 6371000     		do = 302.471295461761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32127310--0.32117723) × cos(1.05266650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495256297682332 × 6371000     		du = 302.496489639841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05271398)-sin(1.05266650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495215049020656-0.495256297682332)×R²
    abs(-0.32117723--0.32127310)×4.12486616752084e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12486616752084e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12486616752084e-05×40589641000000     		ar = 91499.889293559m²