Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29416 / 15595
↖ ↑ ↗
← N 68.181766°
W 18.413086°		 ← 227.03 m → N 68.181766°
W 18.407593°		 →
↑
227.06 m
↓
↑
227.06 m
↓
N 68.179724°
W 18.413086°		 ← 227.05 m →
51 553 m²		 N 68.179724°
W 18.407593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448860168457031 y=0.237968444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448860168457031 × 216)
    floor (0.448860168457031 × 65536)
    floor (29416.5)     		tx = 29416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237968444824219 × 216)
    floor (0.237968444824219 × 65536)
    floor (15595.5)     		ty = 15595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29416 / 15595 ti = "16/29416/15595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29416/15595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29416 ÷ 216
    29416 ÷ 65536     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15595 ÷ 216
    15595 ÷ 65536     		y = 0.237960815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237960815429688 × 2 - 1) × π
    0.524078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64644075435045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64644075435045))-π/2
    2×atan(5.18847984939554)-π/2
    2×1.38039631225895-π/2
    2.7607926245179-1.57079632675     		φ = 1.18999630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18999630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.181766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29416 KachelY 15595 -0.32136898 1.18999630 -18.413086 68.181766
    Oben rechts KachelX + 1 29417 KachelY 15595 -0.32127310 1.18999630 -18.407593 68.181766
    Unten links KachelX 29416 KachelY + 1 15596 -0.32136898 1.18996066 -18.413086 68.179724
    Unten rechts KachelX + 1 29417 KachelY + 1 15596 -0.32127310 1.18996066 -18.407593 68.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18999630-1.18996066) × R
    3.56400000001145e-05 × 6371000     		dl = 227.062440000729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18999630-1.18996066) × R
    3.56400000001145e-05 × 6371000     		dr = 227.062440000729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32127310) × cos(1.18999630) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.371663307223168 × 6371000     		do = 227.031081279081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32127310) × cos(1.18996066) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.371696394008098 × 6371000     		du = 227.051292390624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18999630)-sin(1.18996066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371663307223168-0.371696394008098)×R²
    abs(-0.32127310--0.32136898)×3.30867849304139e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.30867849304139e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.30867849304139e-05×40589641000000     		ar = 51552.5258686714m²