Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29415 / 18913
↖ ↑ ↗
← N 60.324228°
W 18.418579°		 ← 302.40 m → N 60.324228°
W 18.413086°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
N 60.321508°
W 18.418579°		 ← 302.42 m →
91 458 m²		 N 60.321508°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448844909667969 y=0.288597106933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448844909667969 × 216)
    floor (0.448844909667969 × 65536)
    floor (29415.5)     		tx = 29415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288597106933594 × 216)
    floor (0.288597106933594 × 65536)
    floor (18913.5)     		ty = 18913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29415 / 18913 ti = "16/29415/18913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29415/18913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29415 ÷ 216
    29415 ÷ 65536     		x = 0.448837280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18913 ÷ 216
    18913 ÷ 65536     		y = 0.288589477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448837280273438 × 2 - 1) × π
    -0.102325439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32146485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288589477539062 × 2 - 1) × π
    0.422821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32833148847176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32146485} λ = -0.32146485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32833148847176))-π/2
    2×atan(3.7747399332433)-π/2
    2×1.3118263641309-π/2
    2.6236527282618-1.57079632675     		φ = 1.05285640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32146485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.418579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05285640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.324228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29415 KachelY 18913 -0.32146485 1.05285640 -18.418579 60.324228
    Oben rechts KachelX + 1 29416 KachelY 18913 -0.32136898 1.05285640 -18.413086 60.324228
    Unten links KachelX 29415 KachelY + 1 18914 -0.32146485 1.05280893 -18.418579 60.321508
    Unten rechts KachelX + 1 29416 KachelY + 1 18914 -0.32136898 1.05280893 -18.413086 60.321508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05285640-1.05280893) × R
    4.74699999999384e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05285640-1.05280893) × R
    4.74699999999384e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32146485--0.32136898) × cos(1.05285640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495091313714493 × 6371000     		do = 302.395719450039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32146485--0.32136898) × cos(1.05280893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495132557036409 × 6371000     		du = 302.420910366659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05285640)-sin(1.05280893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495091313714493-0.495132557036409)×R²
    abs(-0.32136898--0.32146485)×4.124332191624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.124332191624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.124332191624e-05×40589641000000     		ar = 91457.7609942407m²