Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29414 / 18897
↖ ↑ ↗
← N 60.367713°
W 18.424072°		 ← 301.99 m → N 60.367713°
W 18.418579°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
N 60.364997°
W 18.424072°		 ← 302.02 m →
91 220 m²		 N 60.364997°
W 18.418579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448829650878906 y=0.288352966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448829650878906 × 216)
    floor (0.448829650878906 × 65536)
    floor (29414.5)     		tx = 29414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288352966308594 × 216)
    floor (0.288352966308594 × 65536)
    floor (18897.5)     		ty = 18897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29414 / 18897 ti = "16/29414/18897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29414/18897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29414 ÷ 216
    29414 ÷ 65536     		x = 0.448822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18897 ÷ 216
    18897 ÷ 65536     		y = 0.288345336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288345336914062 × 2 - 1) × π
    0.423309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.3298654692596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32156072} λ = -0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3298654692596))-π/2
    2×atan(3.78053475521647)-π/2
    2×1.31220584143812-π/2
    2.62441168287625-1.57079632675     		φ = 1.05361536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05361536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.367713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29414 KachelY 18897 -0.32156072 1.05361536 -18.424072 60.367713
    Oben rechts KachelX + 1 29415 KachelY 18897 -0.32146485 1.05361536 -18.418579 60.367713
    Unten links KachelX 29414 KachelY + 1 18898 -0.32156072 1.05356795 -18.424072 60.364997
    Unten rechts KachelX + 1 29415 KachelY + 1 18898 -0.32146485 1.05356795 -18.418579 60.364997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05361536-1.05356795) × R
    4.7410000000081e-05 × 6371000     		dl = 302.049110000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05361536-1.05356795) × R
    4.7410000000081e-05 × 6371000     		dr = 302.049110000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32156072--0.32146485) × cos(1.05361536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494431755661395 × 6371000     		do = 301.992869457602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32156072--0.32146485) × cos(1.05356795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494472964657661 × 6371000     		du = 302.018039408535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05361536)-sin(1.05356795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494431755661395-0.494472964657661)×R²
    abs(-0.32146485--0.32156072)×4.12089962657514e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12089962657514e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12089962657514e-05×40589641000000     		ar = 91220.4787442966m²