Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29413 / 18892
↖ ↑ ↗
← N 60.381290°
W 18.429566°		 ← 301.90 m → N 60.381290°
W 18.424072°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
N 60.378575°
W 18.429566°		 ← 301.92 m →
91 134 m²		 N 60.378575°
W 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448814392089844 y=0.288276672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448814392089844 × 216)
    floor (0.448814392089844 × 65536)
    floor (29413.5)     		tx = 29413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288276672363281 × 216)
    floor (0.288276672363281 × 65536)
    floor (18892.5)     		ty = 18892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29413 / 18892 ti = "16/29413/18892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29413/18892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29413 ÷ 216
    29413 ÷ 65536     		x = 0.448806762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18892 ÷ 216
    18892 ÷ 65536     		y = 0.28826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448806762695312 × 2 - 1) × π
    -0.102386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32165660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28826904296875 × 2 - 1) × π
    0.4234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3303448382558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32165660} λ = -0.32165660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3303448382558))-π/2
    2×atan(3.7823474608099)-π/2
    2×1.31232432437885-π/2
    2.62464864875771-1.57079632675     		φ = 1.05385232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32165660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.429566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05385232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.381290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29413 KachelY 18892 -0.32165660 1.05385232 -18.429566 60.381290
    Oben rechts KachelX + 1 29414 KachelY 18892 -0.32156072 1.05385232 -18.424072 60.381290
    Unten links KachelX 29413 KachelY + 1 18893 -0.32165660 1.05380494 -18.429566 60.378575
    Unten rechts KachelX + 1 29414 KachelY + 1 18893 -0.32156072 1.05380494 -18.424072 60.378575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05385232-1.05380494) × R
    4.73800000000413e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05385232-1.05380494) × R
    4.73800000000413e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32165660--0.32156072) × cos(1.05385232) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.49422577225187 × 6371000     		do = 301.898544434175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32165660--0.32156072) × cos(1.05380494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.494266960722487 × 6371000     		du = 301.92370447241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05385232)-sin(1.05380494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49422577225187-0.494266960722487)×R²
    abs(-0.32156072--0.32165660)×4.11884706169041e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.11884706169041e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.11884706169041e-05×40589641000000     		ar = 91134.2821843177m²