Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29412 / 22116
↖ ↑ ↗
← N 75.777846°
W 99.217529°		 ← 75.04 m → N 75.777846°
W 99.214782°		 →
↑
75.05 m
↓
↑
75.05 m
↓
N 75.777171°
W 99.217529°		 ← 75.04 m →
5 632 m²		 N 75.777171°
W 99.214782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224399566650391 y=0.168735504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224399566650391 × 217)
    floor (0.224399566650391 × 131072)
    floor (29412.5)     		tx = 29412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168735504150391 × 217)
    floor (0.168735504150391 × 131072)
    floor (22116.5)     		ty = 22116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29412 / 22116 ti = "17/29412/22116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29412/22116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29412 ÷ 217
    29412 ÷ 131072     		x = 0.224395751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22116 ÷ 217
    22116 ÷ 131072     		y = 0.168731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224395751953125 × 2 - 1) × π
    -0.55120849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.73167256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168731689453125 × 2 - 1) × π
    0.66253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08142018150284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73167256} λ = -1.73167256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08142018150284))-π/2
    2×atan(8.01584478897987)-π/2
    2×1.44668462377804-π/2
    2.89336924755607-1.57079632675     		φ = 1.32257292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73167256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.217529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32257292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.777846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29412 KachelY 22116 -1.73167256 1.32257292 -99.217529 75.777846
    Oben rechts KachelX + 1 29413 KachelY 22116 -1.73162462 1.32257292 -99.214782 75.777846
    Unten links KachelX 29412 KachelY + 1 22117 -1.73167256 1.32256114 -99.217529 75.777171
    Unten rechts KachelX + 1 29413 KachelY + 1 22117 -1.73162462 1.32256114 -99.214782 75.777171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32257292-1.32256114) × R
    1.17800000001278e-05 × 6371000     		dl = 75.0503800008142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32257292-1.32256114) × R
    1.17800000001278e-05 × 6371000     		dr = 75.0503800008142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73167256--1.73162462) × cos(1.32257292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245682206496886 × 6371000     		do = 75.0376697240949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73167256--1.73162462) × cos(1.32256114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245693625427888 × 6371000     		du = 75.0411573595462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32257292)-sin(1.32256114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245682206496886-0.245693625427888)×R²
    abs(-1.73162462--1.73167256)×1.1418931002205e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1418931002205e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1418931002205e-05×40589641000000     		ar = 5631.73650157569m²