Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29411 / 18915
↖ ↑ ↗
← N 60.318788°
W 18.440552°		 ← 302.45 m → N 60.318788°
W 18.435059°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
N 60.316068°
W 18.440552°		 ← 302.47 m →
91 492 m²		 N 60.316068°
W 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448783874511719 y=0.288627624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448783874511719 × 216)
    floor (0.448783874511719 × 65536)
    floor (29411.5)     		tx = 29411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288627624511719 × 216)
    floor (0.288627624511719 × 65536)
    floor (18915.5)     		ty = 18915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29411 / 18915 ti = "16/29411/18915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29411/18915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29411 ÷ 216
    29411 ÷ 65536     		x = 0.448776245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18915 ÷ 216
    18915 ÷ 65536     		y = 0.288619995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448776245117188 × 2 - 1) × π
    -0.102447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32184834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288619995117188 × 2 - 1) × π
    0.422760009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32813974087328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32184834} λ = -0.32184834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32813974087328))-π/2
    2×atan(3.77401620531498)-π/2
    2×1.31177889389176-π/2
    2.62355778778352-1.57079632675     		φ = 1.05276146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32184834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.440552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05276146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.318788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29411 KachelY 18915 -0.32184834 1.05276146 -18.440552 60.318788
    Oben rechts KachelX + 1 29412 KachelY 18915 -0.32175247 1.05276146 -18.435059 60.318788
    Unten links KachelX 29411 KachelY + 1 18916 -0.32184834 1.05271398 -18.440552 60.316068
    Unten rechts KachelX + 1 29412 KachelY + 1 18916 -0.32175247 1.05271398 -18.435059 60.316068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05276146-1.05271398) × R
    4.74799999998776e-05 × 6371000     		dl = 302.49507999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05276146-1.05271398) × R
    4.74799999998776e-05 × 6371000     		dr = 302.49507999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32184834--0.32175247) × cos(1.05276146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495173799242593 × 6371000     		do = 302.446100601805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32184834--0.32175247) × cos(1.05271398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495215049020656 × 6371000     		du = 302.471295461761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05276146)-sin(1.05271398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495173799242593-0.495215049020656)×R²
    abs(-0.32175247--0.32184834)×4.12497780631904e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12497780631904e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12497780631904e-05×40589641000000     		ar = 91492.2680744193m²