Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29411 / 18914
↖ ↑ ↗
← N 60.321508°
W 18.440552°		 ← 302.42 m → N 60.321508°
W 18.435059°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
N 60.318788°
W 18.440552°		 ← 302.45 m →
91 465 m²		 N 60.318788°
W 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448783874511719 y=0.288612365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448783874511719 × 216)
    floor (0.448783874511719 × 65536)
    floor (29411.5)     		tx = 29411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288612365722656 × 216)
    floor (0.288612365722656 × 65536)
    floor (18914.5)     		ty = 18914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29411 / 18914 ti = "16/29411/18914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29411/18914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29411 ÷ 216
    29411 ÷ 65536     		x = 0.448776245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18914 ÷ 216
    18914 ÷ 65536     		y = 0.288604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448776245117188 × 2 - 1) × π
    -0.102447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32184834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288604736328125 × 2 - 1) × π
    0.42279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32823561467252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32184834} λ = -0.32184834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32823561467252))-π/2
    2×atan(3.7743780519325)-π/2
    2×1.31180262999986-π/2
    2.62360525999972-1.57079632675     		φ = 1.05280893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32184834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.440552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05280893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.321508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29411 KachelY 18914 -0.32184834 1.05280893 -18.440552 60.321508
    Oben rechts KachelX + 1 29412 KachelY 18914 -0.32175247 1.05280893 -18.435059 60.321508
    Unten links KachelX 29411 KachelY + 1 18915 -0.32184834 1.05276146 -18.440552 60.318788
    Unten rechts KachelX + 1 29412 KachelY + 1 18915 -0.32175247 1.05276146 -18.435059 60.318788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05280893-1.05276146) × R
    4.74700000001604e-05 × 6371000     		dl = 302.431370001022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05280893-1.05276146) × R
    4.74700000001604e-05 × 6371000     		dr = 302.431370001022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32184834--0.32175247) × cos(1.05280893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495132557036409 × 6371000     		do = 302.420910366659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32184834--0.32175247) × cos(1.05276146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.495173799242593 × 6371000     		du = 302.446100601805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05280893)-sin(1.05276146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495132557036409-0.495173799242593)×R²
    abs(-0.32175247--0.32184834)×4.12422061842888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12422061842888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12422061842888e-05×40589641000000     		ar = 91465.3794151591m²