Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29411 / 18893
↖ ↑ ↗
← N 60.378575°
W 18.440552°		 ← 301.89 m → N 60.378575°
W 18.435059°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
N 60.375860°
W 18.440552°		 ← 301.92 m →
91 152 m²		 N 60.375860°
W 18.435059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448783874511719 y=0.288291931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448783874511719 × 216)
    floor (0.448783874511719 × 65536)
    floor (29411.5)     		tx = 29411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288291931152344 × 216)
    floor (0.288291931152344 × 65536)
    floor (18893.5)     		ty = 18893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29411 / 18893 ti = "16/29411/18893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29411/18893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29411 ÷ 216
    29411 ÷ 65536     		x = 0.448776245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18893 ÷ 216
    18893 ÷ 65536     		y = 0.288284301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448776245117188 × 2 - 1) × π
    -0.102447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32184834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288284301757812 × 2 - 1) × π
    0.423431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33024896445656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32184834} λ = -0.32184834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33024896445656))-π/2
    2×atan(3.78198485017149)-π/2
    2×1.31230063174038-π/2
    2.62460126348075-1.57079632675     		φ = 1.05380494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32184834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.440552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05380494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.378575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29411 KachelY 18893 -0.32184834 1.05380494 -18.440552 60.378575
    Oben rechts KachelX + 1 29412 KachelY 18893 -0.32175247 1.05380494 -18.435059 60.378575
    Unten links KachelX 29411 KachelY + 1 18894 -0.32184834 1.05375755 -18.440552 60.375860
    Unten rechts KachelX + 1 29412 KachelY + 1 18894 -0.32175247 1.05375755 -18.435059 60.375860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05380494-1.05375755) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05380494-1.05375755) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32184834--0.32175247) × cos(1.05380494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494266960722487 × 6371000     		do = 301.892214724359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32184834--0.32175247) × cos(1.05375755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.494308156776409 × 6371000     		du = 301.917376770267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05380494)-sin(1.05375755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494266960722487-0.494308156776409)×R²
    abs(-0.32175247--0.32184834)×4.11960539219991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11960539219991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11960539219991e-05×40589641000000     		ar = 91151.6061682366m²