Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29407 / 19936
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 18.462524°		 ← 328.88 m → N 57.421295°
W 18.457032°		 →
↑
328.93 m
↓
↑
328.93 m
↓
N 57.418336°
W 18.462524°		 ← 328.91 m →
108 186 m²		 N 57.418336°
W 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448722839355469 y=0.304206848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448722839355469 × 216)
    floor (0.448722839355469 × 65536)
    floor (29407.5)     		tx = 29407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304206848144531 × 216)
    floor (0.304206848144531 × 65536)
    floor (19936.5)     		ty = 19936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29407 / 19936 ti = "16/29407/19936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29407/19936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29407 ÷ 216
    29407 ÷ 65536     		x = 0.448715209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19936 ÷ 216
    19936 ÷ 65536     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448715209960938 × 2 - 1) × π
    -0.102569580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32223184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32223184} λ = -0.32223184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32223184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.462524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29407 KachelY 19936 -0.32223184 1.00219065 -18.462524 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 29408 KachelY 19936 -0.32213597 1.00219065 -18.457032 57.421295
    Unten links KachelX 29407 KachelY + 1 19937 -0.32223184 1.00213902 -18.462524 57.418336
    Unten rechts KachelX + 1 29408 KachelY + 1 19937 -0.32213597 1.00213902 -18.457032 57.418336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00213902) × R
    5.16299999999692e-05 × 6371000     		dl = 328.934729999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00213902) × R
    5.16299999999692e-05 × 6371000     		dr = 328.934729999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32223184--0.32213597) × cos(1.00219065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 328.883342695295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32223184--0.32213597) × cos(1.00213902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.538501147923893 × 6371000     		du = 328.909915282868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00213902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538501147923893)×R²
    abs(-0.32213597--0.32223184)×4.35054349121611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.35054349121611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.35054349121611e-05×40589641000000     		ar = 108185.52387838m²