Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29406 / 15037
↖ ↑ ↗
← N 69.293085°
W 18.468017°		 ← 215.97 m → N 69.293085°
W 18.462524°		 →
↑
215.98 m
↓
↑
215.98 m
↓
N 69.291143°
W 18.468017°		 ← 215.99 m →
46 646 m²		 N 69.291143°
W 18.462524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448707580566406 y=0.229454040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448707580566406 × 216)
    floor (0.448707580566406 × 65536)
    floor (29406.5)     		tx = 29406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229454040527344 × 216)
    floor (0.229454040527344 × 65536)
    floor (15037.5)     		ty = 15037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29406 / 15037 ti = "16/29406/15037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29406/15037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29406 ÷ 216
    29406 ÷ 65536     		x = 0.448699951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15037 ÷ 216
    15037 ÷ 65536     		y = 0.229446411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448699951171875 × 2 - 1) × π
    -0.10260009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32232771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229446411132812 × 2 - 1) × π
    0.541107177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69993833432643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32232771} λ = -0.32232771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69993833432643))-π/2
    2×atan(5.47360984748176)-π/2
    2×1.39009440167146-π/2
    2.78018880334292-1.57079632675     		φ = 1.20939248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32232771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.468017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20939248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.293085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29406 KachelY 15037 -0.32232771 1.20939248 -18.468017 69.293085
    Oben rechts KachelX + 1 29407 KachelY 15037 -0.32223184 1.20939248 -18.462524 69.293085
    Unten links KachelX 29406 KachelY + 1 15038 -0.32232771 1.20935858 -18.468017 69.291143
    Unten rechts KachelX + 1 29407 KachelY + 1 15038 -0.32223184 1.20935858 -18.462524 69.291143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20939248-1.20935858) × R
    3.39000000000311e-05 × 6371000     		dl = 215.976900000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20939248-1.20935858) × R
    3.39000000000311e-05 × 6371000     		dr = 215.976900000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32232771--0.32223184) × cos(1.20939248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353587741471334 × 6371000     		do = 215.967068112608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32232771--0.32223184) × cos(1.20935858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353619451374346 × 6371000     		du = 215.986436133555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20939248)-sin(1.20935858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353587741471334-0.353619451374346)×R²
    abs(-0.32223184--0.32232771)×3.17099030114898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17099030114898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17099030114898e-05×40589641000000     		ar = 46645.9893999824m²