Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29403 / 15035
↖ ↑ ↗
← N 69.296969°
W 18.484497°		 ← 215.93 m → N 69.296969°
W 18.479004°		 →
↑
215.98 m
↓
↑
215.98 m
↓
N 69.295027°
W 18.484497°		 ← 215.95 m →
46 638 m²		 N 69.295027°
W 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448661804199219 y=0.229423522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448661804199219 × 216)
    floor (0.448661804199219 × 65536)
    floor (29403.5)     		tx = 29403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229423522949219 × 216)
    floor (0.229423522949219 × 65536)
    floor (15035.5)     		ty = 15035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29403 / 15035 ti = "16/29403/15035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29403/15035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29403 ÷ 216
    29403 ÷ 65536     		x = 0.448654174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15035 ÷ 216
    15035 ÷ 65536     		y = 0.229415893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448654174804688 × 2 - 1) × π
    -0.102691650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32261533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229415893554688 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70013008192491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32261533} λ = -0.32261533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70013008192491))-π/2
    2×atan(5.47465949965596)-π/2
    2×1.39012829843191-π/2
    2.78025659686383-1.57079632675     		φ = 1.20946027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32261533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.484497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20946027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.296969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29403 KachelY 15035 -0.32261533 1.20946027 -18.484497 69.296969
    Oben rechts KachelX + 1 29404 KachelY 15035 -0.32251946 1.20946027 -18.479004 69.296969
    Unten links KachelX 29403 KachelY + 1 15036 -0.32261533 1.20942637 -18.484497 69.295027
    Unten rechts KachelX + 1 29404 KachelY + 1 15036 -0.32251946 1.20942637 -18.479004 69.295027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20946027-1.20942637) × R
    3.38999999998091e-05 × 6371000     		dl = 215.976899998784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20946027-1.20942637) × R
    3.38999999998091e-05 × 6371000     		dr = 215.976899998784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32261533--0.32251946) × cos(1.20946027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353524329800561 × 6371000     		do = 215.928337039625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32261533--0.32251946) × cos(1.20942637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353556040516109 × 6371000     		du = 215.947705556859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20946027)-sin(1.20942637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353524329800561-0.353556040516109)×R²
    abs(-0.32251946--0.32261533)×3.17107155481389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17107155481389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17107155481389e-05×40589641000000     		ar = 46637.6244363348m²