Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29402 / 15036
↖ ↑ ↗
← N 69.295027°
W 18.489990°		 ← 215.97 m → N 69.295027°
W 18.484497°		 →
↑
215.91 m
↓
↑
215.91 m
↓
N 69.293085°
W 18.489990°		 ← 215.99 m →
46 633 m²		 N 69.293085°
W 18.484497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448646545410156 y=0.229438781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448646545410156 × 216)
    floor (0.448646545410156 × 65536)
    floor (29402.5)     		tx = 29402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229438781738281 × 216)
    floor (0.229438781738281 × 65536)
    floor (15036.5)     		ty = 15036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29402 / 15036 ti = "16/29402/15036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29402/15036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29402 ÷ 216
    29402 ÷ 65536     		x = 0.448638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15036 ÷ 216
    15036 ÷ 65536     		y = 0.22943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448638916015625 × 2 - 1) × π
    -0.10272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32271121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22943115234375 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70003420812567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32271121} λ = -0.32271121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70003420812567))-π/2
    2×atan(5.47413464841033)-π/2
    2×1.39011135081166-π/2
    2.78022270162333-1.57079632675     		φ = 1.20942637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32271121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.489990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20942637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.295027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29402 KachelY 15036 -0.32271121 1.20942637 -18.489990 69.295027
    Oben rechts KachelX + 1 29403 KachelY 15036 -0.32261533 1.20942637 -18.484497 69.295027
    Unten links KachelX 29402 KachelY + 1 15037 -0.32271121 1.20939248 -18.489990 69.293085
    Unten rechts KachelX + 1 29403 KachelY + 1 15037 -0.32261533 1.20939248 -18.484497 69.293085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20942637-1.20939248) × R
    3.38900000000919e-05 × 6371000     		dl = 215.913190000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20942637-1.20939248) × R
    3.38900000000919e-05 × 6371000     		dr = 215.913190000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32271121--0.32261533) × cos(1.20942637) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.353556040516109 × 6371000     		do = 215.970230612314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32271121--0.32261533) × cos(1.20939248) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.353587741471334 × 6371000     		du = 215.98959518773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20942637)-sin(1.20939248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353556040516109-0.353587741471334)×R²
    abs(-0.32261533--0.32271121)×3.1700955224645e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.1700955224645e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.1700955224645e-05×40589641000000     		ar = 46632.9119749756m²