Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29400 / 21912
↖ ↑ ↗
← N 75.914852°
W 99.250488°		 ← 74.31 m → N 75.914852°
W 99.247742°		 →
↑
74.29 m
↓
↑
74.29 m
↓
N 75.914184°
W 99.250488°		 ← 74.32 m →
5 521 m²		 N 75.914184°
W 99.247742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224308013916016 y=0.167179107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224308013916016 × 217)
    floor (0.224308013916016 × 131072)
    floor (29400.5)     		tx = 29400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167179107666016 × 217)
    floor (0.167179107666016 × 131072)
    floor (21912.5)     		ty = 21912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29400 / 21912 ti = "17/29400/21912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29400/21912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29400 ÷ 217
    29400 ÷ 131072     		x = 0.22430419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21912 ÷ 217
    21912 ÷ 131072     		y = 0.16717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73224780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16717529296875 × 2 - 1) × π
    0.6656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09119930902533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73224780} λ = -1.73224780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09119930902533))-π/2
    2×atan(8.09461729279285)-π/2
    2×1.44788022569237-π/2
    2.89576045138474-1.57079632675     		φ = 1.32496412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73224780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32496412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.914852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29400 KachelY 21912 -1.73224780 1.32496412 -99.250488 75.914852
    Oben rechts KachelX + 1 29401 KachelY 21912 -1.73219987 1.32496412 -99.247742 75.914852
    Unten links KachelX 29400 KachelY + 1 21913 -1.73224780 1.32495246 -99.250488 75.914184
    Unten rechts KachelX + 1 29401 KachelY + 1 21913 -1.73219987 1.32495246 -99.247742 75.914184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32496412-1.32495246) × R
    1.16599999999689e-05 × 6371000     		dl = 74.285859999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32496412-1.32495246) × R
    1.16599999999689e-05 × 6371000     		dr = 74.285859999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73224780--1.73219987) × cos(1.32496412) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.243363595575818 × 6371000     		do = 74.314001572832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73224780--1.73219987) × cos(1.32495246) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.243374905002914 × 6371000     		du = 74.3174550424482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32496412)-sin(1.32495246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243363595575818-0.243374905002914)×R²
    abs(-1.73219987--1.73224780)×1.13094270958736e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.13094270958736e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.13094270958736e-05×40589641000000     		ar = 5520.60778910654m²