Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2940 / 3468
↖ ↑ ↗
← N 26.588527°
W 50.800782°		 ← 4 369.77 m → N 26.588527°
W 50.756836°		 →
↑
4 370.44 m
↓
↑
4 370.44 m
↓
N 26.549223°
W 50.800782°		 ← 4 371.27 m →
19 101 121 m²		 N 26.549223°
W 50.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35894775390625 y=0.42340087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35894775390625 × 213)
    floor (0.35894775390625 × 8192)
    floor (2940.5)     		tx = 2940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42340087890625 × 213)
    floor (0.42340087890625 × 8192)
    floor (3468.5)     		ty = 3468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2940 / 3468 ti = "13/2940/3468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2940/3468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2940 ÷ 213
    2940 ÷ 8192     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3468 ÷ 213
    3468 ÷ 8192     		y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675     		φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2940 KachelY 3468 -0.88664090 0.46405734 -50.800782 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 2941 KachelY 3468 -0.88587390 0.46405734 -50.756836 26.588527
    Unten links KachelX 2940 KachelY + 1 3469 -0.88664090 0.46337135 -50.800782 26.549223
    Unten rechts KachelX + 1 2941 KachelY + 1 3469 -0.88587390 0.46337135 -50.756836 26.549223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46405734-0.46337135) × R
    0.00068598999999997 × 6371000     		dl = 4370.44228999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46405734-0.46337135) × R
    0.00068598999999997 × 6371000     		dr = 4370.44228999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88587390) × cos(0.46405734) × R
    0.000766999999999962 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 4369.77368494225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88587390) × cos(0.46337135) × R
    0.000766999999999962 × 0.894550703648474 × 6371000     		du = 4371.27300276816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46337135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894550703648474)×R²
    abs(-0.88587390--0.88664090)×0.000306824994758537×R²
    0.000766999999999962×0.000306824994758537×6371000²
    0.000766999999999962×0.000306824994758537×40589641000000     		ar = 19101120.80047m²