Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 294 / 797
↖ ↑ ↗
← S 70.259452°
W 76.640625°		 ← 13.204 km → S 70.259452°
W 76.289062°		 →
↑
13.166 km
↓
↑
13.166 km
↓
S 70.377854°
W 76.640625°		 ← 13.128 km →
173.336 km²		 S 70.377854°
W 76.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.28759765625 y=0.77880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.28759765625 × 210)
    floor (0.28759765625 × 1024)
    floor (294.5)     		tx = 294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77880859375 × 210)
    floor (0.77880859375 × 1024)
    floor (797.5)     		ty = 797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 294 / 797 ti = "10/294/797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/294/797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 294 ÷ 210
    294 ÷ 1024     		x = 0.287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 797 ÷ 210
    797 ÷ 1024     		y = 0.7783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287109375 × 2 - 1) × π
    -0.42578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33763125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7783203125 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33763125} λ = -1.33763125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74873809813965))-π/2
    2×atan(0.173993367529675)-π/2
    2×0.172268779379758-π/2
    0.344537558759516-1.57079632675     		φ = -1.22625877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33763125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22625877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.259452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 294 KachelY 797 -1.33763125 -1.22625877 -76.640625 -70.259452
    Oben rechts KachelX + 1 295 KachelY 797 -1.33149532 -1.22625877 -76.289062 -70.259452
    Unten links KachelX 294 KachelY + 1 798 -1.33763125 -1.22832527 -76.640625 -70.377854
    Unten rechts KachelX + 1 295 KachelY + 1 798 -1.33149532 -1.22832527 -76.289062 -70.377854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22625877--1.22832527) × R
    0.00206649999999997 × 6371000     		dl = 13165.6714999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22625877--1.22832527) × R
    0.00206649999999997 × 6371000     		dr = 13165.6714999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33763125--1.33149532) × cos(-1.22625877) × R
    0.00613593000000012 × 0.337761447152447 × 6371000     		do = 13203.773879831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33763125--1.33149532) × cos(-1.22832527) × R
    0.00613593000000012 × 0.335815671936321 × 6371000     		du = 13127.7096155661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22625877)-sin(-1.22832527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337761447152447-0.335815671936321)×R²
    abs(-1.33149532--1.33763125)×0.00194577521612588×R²
    0.00613593000000012×0.00194577521612588×6371000²
    0.00613593000000012×0.00194577521612588×40589641000000     		ar = 173335892.588823m²