Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 294 / 218
↖ ↑ ↗
← N 80.356996°
W128.320312°		 ← 3 274.12 m → N 80.356996°
W128.144531°		 →
↑
3 279.09 m
↓
↑
3 279.09 m
↓
N 80.327506°
W128.320312°		 ← 3 284.04 m →
10 752 400 m²		 N 80.327506°
W128.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143798828125 y=0.106689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143798828125 × 211)
    floor (0.143798828125 × 2048)
    floor (294.5)     		tx = 294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106689453125 × 211)
    floor (0.106689453125 × 2048)
    floor (218.5)     		ty = 218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 294 / 218 ti = "11/294/218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/294/218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 294 ÷ 211
    294 ÷ 2048     		x = 0.1435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 218 ÷ 211
    218 ÷ 2048     		y = 0.1064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    -0.712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23961195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23961195} λ = -2.23961195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47277703000098))-π/2
    2×atan(11.8553237702043)-π/2
    2×1.48664523690651-π/2
    2.97329047381303-1.57079632675     		φ = 1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23961195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.320312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 294 KachelY 218 -2.23961195 1.40249415 -128.320312 80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 295 KachelY 218 -2.23654399 1.40249415 -128.144531 80.356996
    Unten links KachelX 294 KachelY + 1 219 -2.23961195 1.40197946 -128.320312 80.327506
    Unten rechts KachelX + 1 295 KachelY + 1 219 -2.23654399 1.40197946 -128.144531 80.327506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40249415-1.40197946) × R
    0.000514690000000151 × 6371000     		dl = 3279.08999000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40249415-1.40197946) × R
    0.000514690000000151 × 6371000     		dr = 3279.08999000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23961195--2.23654399) × cos(1.40249415) × R
    0.00306796000000009 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 3274.12167503866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23961195--2.23654399) × cos(1.40197946) × R
    0.00306796000000009 × 0.168016152863802 × 6371000     		du = 3284.03921432243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40249415)-sin(1.40197946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.168016152863802)×R²
    abs(-2.23654399--2.23961195)×0.000507395523496962×R²
    0.00306796000000009×0.000507395523496962×6371000²
    0.00306796000000009×0.000507395523496962×40589641000000     		ar = 10752400.0999219m²