Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29399 / 23097
↖ ↑ ↗
← N 46.826376°
W 18.506470°		 ← 417.91 m → N 46.826376°
W 18.500977°		 →
↑
417.94 m
↓
↑
417.94 m
↓
N 46.822617°
W 18.506470°		 ← 417.94 m →
174 666 m²		 N 46.822617°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448600769042969 y=0.352439880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448600769042969 × 216)
    floor (0.448600769042969 × 65536)
    floor (29399.5)     		tx = 29399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352439880371094 × 216)
    floor (0.352439880371094 × 65536)
    floor (23097.5)     		ty = 23097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29399 / 23097 ti = "16/29399/23097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29399/23097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29399 ÷ 216
    29399 ÷ 65536     		x = 0.448593139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23097 ÷ 216
    23097 ÷ 65536     		y = 0.352432250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448593139648438 × 2 - 1) × π
    -0.102813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32299883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352432250976562 × 2 - 1) × π
    0.295135498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.927195512451126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32299883} λ = -0.32299883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927195512451126))-π/2
    2×atan(2.52741113602362)-π/2
    2×1.19403537614617-π/2
    2.38807075229234-1.57079632675     		φ = 0.81727443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32299883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.506470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81727443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.826376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29399 KachelY 23097 -0.32299883 0.81727443 -18.506470 46.826376
    Oben rechts KachelX + 1 29400 KachelY 23097 -0.32290296 0.81727443 -18.500977 46.826376
    Unten links KachelX 29399 KachelY + 1 23098 -0.32299883 0.81720883 -18.506470 46.822617
    Unten rechts KachelX + 1 29400 KachelY + 1 23098 -0.32290296 0.81720883 -18.500977 46.822617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81727443-0.81720883) × R
    6.5599999999999e-05 × 6371000     		dl = 417.937599999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81727443-0.81720883) × R
    6.5599999999999e-05 × 6371000     		dr = 417.937599999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32299883--0.32290296) × cos(0.81727443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684211459941799 × 6371000     		do = 417.907991826286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32299883--0.32290296) × cos(0.81720883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684259299478616 × 6371000     		du = 417.937211630297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81727443)-sin(0.81720883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684211459941799-0.684259299478616)×R²
    abs(-0.32290296--0.32299883)×4.78395368174178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78395368174178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78395368174178e-05×40589641000000     		ar = 174665.569214776m²