Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29399 / 23095
↖ ↑ ↗
← N 46.833892°
W 18.506470°		 ← 417.85 m → N 46.833892°
W 18.500977°		 →
↑
417.87 m
↓
↑
417.87 m
↓
N 46.830134°
W 18.506470°		 ← 417.88 m →
174 615 m²		 N 46.830134°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448600769042969 y=0.352409362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448600769042969 × 216)
    floor (0.448600769042969 × 65536)
    floor (29399.5)     		tx = 29399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352409362792969 × 216)
    floor (0.352409362792969 × 65536)
    floor (23095.5)     		ty = 23095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29399 / 23095 ti = "16/29399/23095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29399/23095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29399 ÷ 216
    29399 ÷ 65536     		x = 0.448593139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23095 ÷ 216
    23095 ÷ 65536     		y = 0.352401733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448593139648438 × 2 - 1) × π
    -0.102813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32299883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352401733398438 × 2 - 1) × π
    0.295196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.927387260049606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32299883} λ = -0.32299883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927387260049606))-π/2
    2×atan(2.52789580750513)-π/2
    2×1.1941009695121-π/2
    2.3882019390242-1.57079632675     		φ = 0.81740561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32299883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.506470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81740561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.833892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29399 KachelY 23095 -0.32299883 0.81740561 -18.506470 46.833892
    Oben rechts KachelX + 1 29400 KachelY 23095 -0.32290296 0.81740561 -18.500977 46.833892
    Unten links KachelX 29399 KachelY + 1 23096 -0.32299883 0.81734002 -18.506470 46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 29400 KachelY + 1 23096 -0.32290296 0.81734002 -18.500977 46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81740561-0.81734002) × R
    6.55900000000598e-05 × 6371000     		dl = 417.873890000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81740561-0.81734002) × R
    6.55900000000598e-05 × 6371000     		dr = 417.873890000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32299883--0.32290296) × cos(0.81740561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684115786622614 × 6371000     		do = 417.849555733013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32299883--0.32290296) × cos(0.81734002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 417.878774678517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81740561)-sin(0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684115786622614-0.684163624753859)×R²
    abs(-0.32290296--0.32299883)×4.78381312449816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78381312449816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78381312449816e-05×40589641000000     		ar = 174614.524268886m²