Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29397 / 23079
↖ ↑ ↗
← N 46.893986°
W 18.517456°		 ← 417.43 m → N 46.893986°
W 18.511963°		 →
↑
417.43 m
↓
↑
417.43 m
↓
N 46.890232°
W 18.517456°		 ← 417.45 m →
174 251 m²		 N 46.890232°
W 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448570251464844 y=0.352165222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448570251464844 × 216)
    floor (0.448570251464844 × 65536)
    floor (29397.5)     		tx = 29397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352165222167969 × 216)
    floor (0.352165222167969 × 65536)
    floor (23079.5)     		ty = 23079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29397 / 23079 ti = "16/29397/23079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29397/23079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29397 ÷ 216
    29397 ÷ 65536     		x = 0.448562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23079 ÷ 216
    23079 ÷ 65536     		y = 0.352157592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448562622070312 × 2 - 1) × π
    -0.102874755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32319058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352157592773438 × 2 - 1) × π
    0.295684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.928921240837448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32319058} λ = -0.32319058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928921240837448))-π/2
    2×atan(2.53177652682097)-π/2
    2×1.19462538622613-π/2
    2.38925077245225-1.57079632675     		φ = 0.81845445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32319058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.517456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81845445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.893986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29397 KachelY 23079 -0.32319058 0.81845445 -18.517456 46.893986
    Oben rechts KachelX + 1 29398 KachelY 23079 -0.32309470 0.81845445 -18.511963 46.893986
    Unten links KachelX 29397 KachelY + 1 23080 -0.32319058 0.81838893 -18.517456 46.890232
    Unten rechts KachelX + 1 29398 KachelY + 1 23080 -0.32309470 0.81838893 -18.511963 46.890232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81845445-0.81838893) × R
    6.55199999999301e-05 × 6371000     		dl = 417.427919999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81845445-0.81838893) × R
    6.55199999999301e-05 × 6371000     		dr = 417.427919999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32319058--0.32309470) × cos(0.81845445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683350414455665 × 6371000     		do = 417.425612028825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32319058--0.32309470) × cos(0.81838893) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683398248521694 × 6371000     		du = 417.454831538852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81845445)-sin(0.81838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683350414455665-0.683398248521694)×R²
    abs(-0.32309470--0.32319058)×4.78340660282628e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78340660282628e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78340660282628e-05×40589641000000     		ar = 174251.203565724m²