Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29397 / 17865
↖ ↑ ↗
← N 63.052470°
W 18.517456°		 ← 276.82 m → N 63.052470°
W 18.511963°		 →
↑
276.82 m
↓
↑
276.82 m
↓
N 63.049980°
W 18.517456°		 ← 276.85 m →
76 633 m²		 N 63.049980°
W 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448570251464844 y=0.272605895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448570251464844 × 216)
    floor (0.448570251464844 × 65536)
    floor (29397.5)     		tx = 29397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272605895996094 × 216)
    floor (0.272605895996094 × 65536)
    floor (17865.5)     		ty = 17865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29397 / 17865 ti = "16/29397/17865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29397/17865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29397 ÷ 216
    29397 ÷ 65536     		x = 0.448562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17865 ÷ 216
    17865 ÷ 65536     		y = 0.272598266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448562622070312 × 2 - 1) × π
    -0.102874755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32319058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272598266601562 × 2 - 1) × π
    0.454803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42880723007539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32319058} λ = -0.32319058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42880723007539))-π/2
    2×atan(4.17371793653952)-π/2
    2×1.33563476538421-π/2
    2.67126953076843-1.57079632675     		φ = 1.10047320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32319058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.517456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10047320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.052470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29397 KachelY 17865 -0.32319058 1.10047320 -18.517456 63.052470
    Oben rechts KachelX + 1 29398 KachelY 17865 -0.32309470 1.10047320 -18.511963 63.052470
    Unten links KachelX 29397 KachelY + 1 17866 -0.32319058 1.10042975 -18.517456 63.049980
    Unten rechts KachelX + 1 29398 KachelY + 1 17866 -0.32309470 1.10042975 -18.511963 63.049980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10047320-1.10042975) × R
    4.34499999999449e-05 × 6371000     		dl = 276.819949999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10047320-1.10042975) × R
    4.34499999999449e-05 × 6371000     		dr = 276.819949999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32319058--0.32309470) × cos(1.10047320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453174351334313 × 6371000     		do = 276.822223210584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32319058--0.32309470) × cos(1.10042975) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453213083188167 × 6371000     		du = 276.845882620833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10047320)-sin(1.10042975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453174351334313-0.453213083188167)×R²
    abs(-0.32309470--0.32319058)×3.8731853853391e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8731853853391e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8731853853391e-05×40589641000000     		ar = 76633.1886983395m²