Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29397 / 15503
↖ ↑ ↗
← N 68.368826°
W 18.517456°		 ← 225.18 m → N 68.368826°
W 18.511963°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
N 68.366801°
W 18.517456°		 ← 225.20 m →
50 701 m²		 N 68.366801°
W 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448570251464844 y=0.236564636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448570251464844 × 216)
    floor (0.448570251464844 × 65536)
    floor (29397.5)     		tx = 29397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236564636230469 × 216)
    floor (0.236564636230469 × 65536)
    floor (15503.5)     		ty = 15503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29397 / 15503 ti = "16/29397/15503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29397/15503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29397 ÷ 216
    29397 ÷ 65536     		x = 0.448562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15503 ÷ 216
    15503 ÷ 65536     		y = 0.236557006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448562622070312 × 2 - 1) × π
    -0.102874755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32319058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236557006835938 × 2 - 1) × π
    0.526885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65526114388054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32319058} λ = -0.32319058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65526114388054))-π/2
    2×atan(5.23444668742954)-π/2
    2×1.382028724246-π/2
    2.764057448492-1.57079632675     		φ = 1.19326112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32319058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.517456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19326112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.368826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29397 KachelY 15503 -0.32319058 1.19326112 -18.517456 68.368826
    Oben rechts KachelX + 1 29398 KachelY 15503 -0.32309470 1.19326112 -18.511963 68.368826
    Unten links KachelX 29397 KachelY + 1 15504 -0.32319058 1.19322578 -18.517456 68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 29398 KachelY + 1 15504 -0.32309470 1.19322578 -18.511963 68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19326112-1.19322578) × R
    3.53400000001614e-05 × 6371000     		dl = 225.151140001028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19326112-1.19322578) × R
    3.53400000001614e-05 × 6371000     		dr = 225.151140001028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32319058--0.32309470) × cos(1.19326112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.368630378738574 × 6371000     		do = 225.178412425401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32319058--0.32309470) × cos(1.19322578) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 225.198479499807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19326112)-sin(1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368630378738574-0.368663229726192)×R²
    abs(-0.32309470--0.32319058)×3.28509876179051e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.28509876179051e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.28509876179051e-05×40589641000000     		ar = 50701.4353285035m²