Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29396 / 15502
↖ ↑ ↗
← N 68.370851°
W 18.522949°		 ← 225.13 m → N 68.370851°
W 18.517456°		 →
↑
225.15 m
↓
↑
225.15 m
↓
N 68.368826°
W 18.522949°		 ← 225.15 m →
50 692 m²		 N 68.368826°
W 18.517456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448554992675781 y=0.236549377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448554992675781 × 216)
    floor (0.448554992675781 × 65536)
    floor (29396.5)     		tx = 29396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236549377441406 × 216)
    floor (0.236549377441406 × 65536)
    floor (15502.5)     		ty = 15502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29396 / 15502 ti = "16/29396/15502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29396/15502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29396 ÷ 216
    29396 ÷ 65536     		x = 0.44854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15502 ÷ 216
    15502 ÷ 65536     		y = 0.236541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236541748046875 × 2 - 1) × π
    0.52691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65535701767978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32328645} λ = -0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65535701767978))-π/2
    2×atan(5.23494855777811)-π/2
    2×1.38204639445597-π/2
    2.76409278891194-1.57079632675     		φ = 1.19329646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19329646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.370851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29396 KachelY 15502 -0.32328645 1.19329646 -18.522949 68.370851
    Oben rechts KachelX + 1 29397 KachelY 15502 -0.32319058 1.19329646 -18.517456 68.370851
    Unten links KachelX 29396 KachelY + 1 15503 -0.32328645 1.19326112 -18.522949 68.368826
    Unten rechts KachelX + 1 29397 KachelY + 1 15503 -0.32319058 1.19326112 -18.517456 68.368826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19329646-1.19326112) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dl = 225.151139999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19329646-1.19326112) × R
    3.53399999999393e-05 × 6371000     		dr = 225.151139999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32328645--0.32319058) × cos(1.19329646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368597527290568 × 6371000     		do = 225.134861721315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32328645--0.32319058) × cos(1.19326112) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368630378738574 × 6371000     		du = 225.154926983984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19329646)-sin(1.19326112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368597527290568-0.368630378738574)×R²
    abs(-0.32319058--0.32328645)×3.28514480059106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28514480059106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28514480059106e-05×40589641000000     		ar = 50691.6296340451m²