Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29393 / 23085
↖ ↑ ↗
← N 46.871458°
W 18.539429°		 ← 417.56 m → N 46.871458°
W 18.533936°		 →
↑
417.56 m
↓
↑
417.56 m
↓
N 46.867703°
W 18.539429°		 ← 417.59 m →
174 359 m²		 N 46.867703°
W 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448509216308594 y=0.352256774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448509216308594 × 216)
    floor (0.448509216308594 × 65536)
    floor (29393.5)     		tx = 29393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352256774902344 × 216)
    floor (0.352256774902344 × 65536)
    floor (23085.5)     		ty = 23085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29393 / 23085 ti = "16/29393/23085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29393/23085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29393 ÷ 216
    29393 ÷ 65536     		x = 0.448501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23085 ÷ 216
    23085 ÷ 65536     		y = 0.352249145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448501586914062 × 2 - 1) × π
    -0.102996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32357407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352249145507812 × 2 - 1) × π
    0.295501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.928345998042007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32357407} λ = -0.32357407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928345998042007))-π/2
    2×atan(2.53032055942178)-π/2
    2×1.19442879875049-π/2
    2.38885759750098-1.57079632675     		φ = 0.81806127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32357407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.539429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81806127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.871458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29393 KachelY 23085 -0.32357407 0.81806127 -18.539429 46.871458
    Oben rechts KachelX + 1 29394 KachelY 23085 -0.32347820 0.81806127 -18.533936 46.871458
    Unten links KachelX 29393 KachelY + 1 23086 -0.32357407 0.81799573 -18.539429 46.867703
    Unten rechts KachelX + 1 29394 KachelY + 1 23086 -0.32347820 0.81799573 -18.533936 46.867703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81806127-0.81799573) × R
    6.55399999999196e-05 × 6371000     		dl = 417.555339999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81806127-0.81799573) × R
    6.55399999999196e-05 × 6371000     		dr = 417.555339999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32357407--0.32347820) × cos(0.81806127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683637418630937 × 6371000     		do = 417.557374414137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32357407--0.32347820) × cos(0.81799573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683685249684298 × 6371000     		du = 417.586589036556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81806127)-sin(0.81799573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683637418630937-0.683685249684298)×R²
    abs(-0.32347820--0.32357407)×4.78310533604809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78310533604809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78310533604809e-05×40589641000000     		ar = 174359.410866046m²