Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29393 / 15505
↖ ↑ ↗
← N 68.364776°
W 18.539429°		 ← 225.20 m → N 68.364776°
W 18.533936°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
N 68.362750°
W 18.539429°		 ← 225.22 m →
50 720 m²		 N 68.362750°
W 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448509216308594 y=0.236595153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448509216308594 × 216)
    floor (0.448509216308594 × 65536)
    floor (29393.5)     		tx = 29393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236595153808594 × 216)
    floor (0.236595153808594 × 65536)
    floor (15505.5)     		ty = 15505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29393 / 15505 ti = "16/29393/15505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29393/15505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29393 ÷ 216
    29393 ÷ 65536     		x = 0.448501586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15505 ÷ 216
    15505 ÷ 65536     		y = 0.236587524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448501586914062 × 2 - 1) × π
    -0.102996826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32357407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236587524414062 × 2 - 1) × π
    0.526824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65506939628206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32357407} λ = -0.32357407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65506939628206))-π/2
    2×atan(5.23344309106952)-π/2
    2×1.38199337910132-π/2
    2.76398675820264-1.57079632675     		φ = 1.19319043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32357407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.539429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19319043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.364776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29393 KachelY 15505 -0.32357407 1.19319043 -18.539429 68.364776
    Oben rechts KachelX + 1 29394 KachelY 15505 -0.32347820 1.19319043 -18.533936 68.364776
    Unten links KachelX 29393 KachelY + 1 15506 -0.32357407 1.19315508 -18.539429 68.362750
    Unten rechts KachelX + 1 29394 KachelY + 1 15506 -0.32347820 1.19315508 -18.533936 68.362750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19319043-1.19315508) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dl = 225.214850000641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19319043-1.19315508) × R
    3.53500000001006e-05 × 6371000     		dr = 225.214850000641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32357407--0.32347820) × cos(1.19319043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368696089548881 × 6371000     		do = 225.195062343276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32357407--0.32347820) × cos(1.19315508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368728948910838 × 6371000     		du = 225.21513243969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19319043)-sin(1.19315508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368696089548881-0.368728948910838)×R²
    abs(-0.32347820--0.32357407)×3.28593619576267e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28593619576267e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28593619576267e-05×40589641000000     		ar = 50719.5322335818m²