Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29392 / 23063
↖ ↑ ↗
← N 46.954012°
W 18.544922°		 ← 416.96 m → N 46.954012°
W 18.539429°		 →
↑
416.98 m
↓
↑
416.98 m
↓
N 46.950262°
W 18.544922°		 ← 416.99 m →
173 870 m²		 N 46.950262°
W 18.539429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448493957519531 y=0.351921081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448493957519531 × 216)
    floor (0.448493957519531 × 65536)
    floor (29392.5)     		tx = 29392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351921081542969 × 216)
    floor (0.351921081542969 × 65536)
    floor (23063.5)     		ty = 23063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29392 / 23063 ti = "16/29392/23063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29392/23063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29392 ÷ 216
    29392 ÷ 65536     		x = 0.448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23063 ÷ 216
    23063 ÷ 65536     		y = 0.351913452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.10302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32366995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351913452148438 × 2 - 1) × π
    0.296173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93045522162529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32366995} λ = -0.32366995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93045522162529))-π/2
    2×atan(2.53566320365388)-π/2
    2×1.19514921595126-π/2
    2.39029843190253-1.57079632675     		φ = 0.81950211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32366995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81950211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.954012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29392 KachelY 23063 -0.32366995 0.81950211 -18.544922 46.954012
    Oben rechts KachelX + 1 29393 KachelY 23063 -0.32357407 0.81950211 -18.539429 46.954012
    Unten links KachelX 29392 KachelY + 1 23064 -0.32366995 0.81943666 -18.544922 46.950262
    Unten rechts KachelX + 1 29393 KachelY + 1 23064 -0.32357407 0.81943666 -18.539429 46.950262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81950211-0.81943666) × R
    6.54499999999114e-05 × 6371000     		dl = 416.981949999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81950211-0.81943666) × R
    6.54499999999114e-05 × 6371000     		dr = 416.981949999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32366995--0.32357407) × cos(0.81950211) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682585152910312 × 6371000     		do = 416.958150881258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32366995--0.32357407) × cos(0.81943666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682632982705432 × 6371000     		du = 416.987367782396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81950211)-sin(0.81943666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682585152910312-0.682632982705432)×R²
    abs(-0.32357407--0.32366995)×4.78297951206352e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78297951206352e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78297951206352e-05×40589641000000     		ar = 173870.114345033m²