Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29392 / 23062
↖ ↑ ↗
← N 46.957761°
W 18.544922°		 ← 416.93 m → N 46.957761°
W 18.539429°		 →
↑
416.85 m
↓
↑
416.85 m
↓
N 46.954012°
W 18.544922°		 ← 416.96 m →
173 805 m²		 N 46.954012°
W 18.539429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448493957519531 y=0.351905822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448493957519531 × 216)
    floor (0.448493957519531 × 65536)
    floor (29392.5)     		tx = 29392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351905822753906 × 216)
    floor (0.351905822753906 × 65536)
    floor (23062.5)     		ty = 23062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29392 / 23062 ti = "16/29392/23062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29392/23062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29392 ÷ 216
    29392 ÷ 65536     		x = 0.448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23062 ÷ 216
    23062 ÷ 65536     		y = 0.351898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.10302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32366995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351898193359375 × 2 - 1) × π
    0.29620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93055109542453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32366995} λ = -0.32366995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93055109542453))-π/2
    2×atan(2.53590631897281)-π/2
    2×1.19518193582109-π/2
    2.39036387164219-1.57079632675     		φ = 0.81956754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32366995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81956754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.957761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29392 KachelY 23062 -0.32366995 0.81956754 -18.544922 46.957761
    Oben rechts KachelX + 1 29393 KachelY 23062 -0.32357407 0.81956754 -18.539429 46.957761
    Unten links KachelX 29392 KachelY + 1 23063 -0.32366995 0.81950211 -18.544922 46.954012
    Unten rechts KachelX + 1 29393 KachelY + 1 23063 -0.32357407 0.81950211 -18.539429 46.954012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81956754-0.81950211) × R
    6.5430000000033e-05 × 6371000     		dl = 416.85453000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81956754-0.81950211) × R
    6.5430000000033e-05 × 6371000     		dr = 416.85453000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32366995--0.32357407) × cos(0.81956754) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682537334808214 × 6371000     		do = 416.928941122821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32366995--0.32357407) × cos(0.81950211) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682585152910312 × 6371000     		du = 416.958150881258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81956754)-sin(0.81950211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682537334808214-0.682585152910312)×R²
    abs(-0.32357407--0.32366995)×4.78181020976409e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78181020976409e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78181020976409e-05×40589641000000     		ar = 173804.80596748m²