Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29391 / 19984
↖ ↑ ↗
← N 57.279043°
W 18.550415°		 ← 330.16 m → N 57.279043°
W 18.544922°		 →
↑
330.21 m
↓
↑
330.21 m
↓
N 57.276073°
W 18.550415°		 ← 330.19 m →
109 026 m²		 N 57.276073°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448478698730469 y=0.304939270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448478698730469 × 216)
    floor (0.448478698730469 × 65536)
    floor (29391.5)     		tx = 29391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304939270019531 × 216)
    floor (0.304939270019531 × 65536)
    floor (19984.5)     		ty = 19984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29391 / 19984 ti = "16/29391/19984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29391/19984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29391 ÷ 216
    29391 ÷ 65536     		x = 0.448471069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19984 ÷ 216
    19984 ÷ 65536     		y = 0.304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448471069335938 × 2 - 1) × π
    -0.103057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32376582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304931640625 × 2 - 1) × π
    0.39013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2256506494856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32376582} λ = -0.32376582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2256506494856))-π/2
    2×atan(3.4063817224257)-π/2
    2×1.28525210770773-π/2
    2.57050421541546-1.57079632675     		φ = 0.99970789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32376582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.550415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99970789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.279043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29391 KachelY 19984 -0.32376582 0.99970789 -18.550415 57.279043
    Oben rechts KachelX + 1 29392 KachelY 19984 -0.32366995 0.99970789 -18.544922 57.279043
    Unten links KachelX 29391 KachelY + 1 19985 -0.32376582 0.99965606 -18.550415 57.276073
    Unten rechts KachelX + 1 29392 KachelY + 1 19985 -0.32366995 0.99965606 -18.544922 57.276073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99970789-0.99965606) × R
    5.1830000000086e-05 × 6371000     		dl = 330.208930000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99970789-0.99965606) × R
    5.1830000000086e-05 × 6371000     		dr = 330.208930000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32376582--0.32366995) × cos(0.99970789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540548084902491 × 6371000     		do = 330.160159355356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32376582--0.32366995) × cos(0.99965606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.540591689435493 × 6371000     		du = 330.18679247083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99970789)-sin(0.99965606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540548084902491-0.540591689435493)×R²
    abs(-0.32366995--0.32376582)×4.36045330021173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36045330021173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36045330021173e-05×40589641000000     		ar = 109026.230220069m²