Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29391 / 17869
↖ ↑ ↗
← N 63.042511°
W 18.550415°		 ← 276.89 m → N 63.042511°
W 18.544922°		 →
↑
276.88 m
↓
↑
276.88 m
↓
N 63.040021°
W 18.550415°		 ← 276.91 m →
76 669 m²		 N 63.040021°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448478698730469 y=0.272666931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448478698730469 × 216)
    floor (0.448478698730469 × 65536)
    floor (29391.5)     		tx = 29391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272666931152344 × 216)
    floor (0.272666931152344 × 65536)
    floor (17869.5)     		ty = 17869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29391 / 17869 ti = "16/29391/17869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29391/17869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29391 ÷ 216
    29391 ÷ 65536     		x = 0.448471069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17869 ÷ 216
    17869 ÷ 65536     		y = 0.272659301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448471069335938 × 2 - 1) × π
    -0.103057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32376582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272659301757812 × 2 - 1) × π
    0.454681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42842373487843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32376582} λ = -0.32376582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42842373487843))-π/2
    2×atan(4.17211764262951)-π/2
    2×1.33554785543727-π/2
    2.67109571087454-1.57079632675     		φ = 1.10029938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32376582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.550415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10029938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.042511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29391 KachelY 17869 -0.32376582 1.10029938 -18.550415 63.042511
    Oben rechts KachelX + 1 29392 KachelY 17869 -0.32366995 1.10029938 -18.544922 63.042511
    Unten links KachelX 29391 KachelY + 1 17870 -0.32376582 1.10025592 -18.550415 63.040021
    Unten rechts KachelX + 1 29392 KachelY + 1 17870 -0.32366995 1.10025592 -18.544922 63.040021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10029938-1.10025592) × R
    4.34600000001062e-05 × 6371000     		dl = 276.883660000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10029938-1.10025592) × R
    4.34600000001062e-05 × 6371000     		dr = 276.883660000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32376582--0.32366995) × cos(1.10029938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453329291442564 × 6371000     		do = 276.887986995878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32376582--0.32366995) × cos(1.10025592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453368028786331 × 6371000     		du = 276.911647291693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10029938)-sin(1.10025592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453329291442564-0.453368028786331)×R²
    abs(-0.32366995--0.32376582)×3.87373437665817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87373437665817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87373437665817e-05×40589641000000     		ar = 76669.0348363677m²