Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29390 / 17878
↖ ↑ ↗
← N 63.020090°
W 18.555908°		 ← 277.10 m → N 63.020090°
W 18.550415°		 →
↑
277.14 m
↓
↑
277.14 m
↓
N 63.017598°
W 18.555908°		 ← 277.12 m →
76 799 m²		 N 63.017598°
W 18.550415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448463439941406 y=0.272804260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448463439941406 × 216)
    floor (0.448463439941406 × 65536)
    floor (29390.5)     		tx = 29390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272804260253906 × 216)
    floor (0.272804260253906 × 65536)
    floor (17878.5)     		ty = 17878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29390 / 17878 ti = "16/29390/17878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29390/17878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29390 ÷ 216
    29390 ÷ 65536     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17878 ÷ 216
    17878 ÷ 65536     		y = 0.272796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272796630859375 × 2 - 1) × π
    0.45440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42756087068527))-π/2
    2×atan(4.16851922440242)-π/2
    2×1.33535219940651-π/2
    2.67070439881302-1.57079632675     		φ = 1.09990807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09990807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.020090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29390 KachelY 17878 -0.32386169 1.09990807 -18.555908 63.020090
    Oben rechts KachelX + 1 29391 KachelY 17878 -0.32376582 1.09990807 -18.550415 63.020090
    Unten links KachelX 29390 KachelY + 1 17879 -0.32386169 1.09986457 -18.555908 63.017598
    Unten rechts KachelX + 1 29391 KachelY + 1 17879 -0.32376582 1.09986457 -18.550415 63.017598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09990807-1.09986457) × R
    4.34999999998631e-05 × 6371000     		dl = 277.138499999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09990807-1.09986457) × R
    4.34999999998631e-05 × 6371000     		dr = 277.138499999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32376582) × cos(1.09990807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		do = 277.101003358864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32376582) × cos(1.09986457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.453716813478214 × 6371000     		du = 277.124680715858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09990807)-sin(1.09986457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453678048201374-0.453716813478214)×R²
    abs(-0.32376582--0.32386169)×3.87652768398805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87652768398805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87652768398805e-05×40589641000000     		ar = 76798.6373847191m²