Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29390 / 15630
↖ ↑ ↗
← N 68.110198°
W 18.555908°		 ← 227.72 m → N 68.110198°
W 18.550415°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
N 68.108150°
W 18.555908°		 ← 227.74 m →
51 868 m²		 N 68.108150°
W 18.550415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448463439941406 y=0.238502502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448463439941406 × 216)
    floor (0.448463439941406 × 65536)
    floor (29390.5)     		tx = 29390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238502502441406 × 216)
    floor (0.238502502441406 × 65536)
    floor (15630.5)     		ty = 15630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29390 / 15630 ti = "16/29390/15630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29390/15630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29390 ÷ 216
    29390 ÷ 65536     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15630 ÷ 216
    15630 ÷ 65536     		y = 0.238494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238494873046875 × 2 - 1) × π
    0.52301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64308517137704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64308517137704))-π/2
    2×atan(5.17109865308751)-π/2
    2×1.37977176659288-π/2
    2.75954353318575-1.57079632675     		φ = 1.18874721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18874721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.110198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29390 KachelY 15630 -0.32386169 1.18874721 -18.555908 68.110198
    Oben rechts KachelX + 1 29391 KachelY 15630 -0.32376582 1.18874721 -18.550415 68.110198
    Unten links KachelX 29390 KachelY + 1 15631 -0.32386169 1.18871146 -18.555908 68.108150
    Unten rechts KachelX + 1 29391 KachelY + 1 15631 -0.32376582 1.18871146 -18.550415 68.108150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18874721-1.18871146) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18874721-1.18871146) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32376582) × cos(1.18874721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.372822631657934 × 6371000     		do = 227.715503795876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32376582) × cos(1.18871146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3728558039386 × 6371000     		du = 227.735765019209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18874721)-sin(1.18871146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372822631657934-0.3728558039386)×R²
    abs(-0.32376582--0.32386169)×3.31722806654611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.31722806654611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31722806654611e-05×40589641000000     		ar = 51867.5306067219m²