Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2939 / 3448
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
W 50.844727°		 ← 4 339.41 m → N 27.371767°
W 50.800782°		 →
↑
4 340.18 m
↓
↑
4 340.18 m
↓
N 27.332735°
W 50.844727°		 ← 4 340.94 m →
18 837 147 m²		 N 27.332735°
W 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35882568359375 y=0.42095947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35882568359375 × 213)
    floor (0.35882568359375 × 8192)
    floor (2939.5)     		tx = 2939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42095947265625 × 213)
    floor (0.42095947265625 × 8192)
    floor (3448.5)     		ty = 3448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2939 / 3448 ti = "13/2939/3448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2939/3448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2939 ÷ 213
    2939 ÷ 8192     		x = 0.3587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3448 ÷ 213
    3448 ÷ 8192     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3587646484375 × 2 - 1) × π
    -0.282470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88740789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88740789} λ = -0.88740789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88740789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2939 KachelY 3448 -0.88740789 0.47772746 -50.844727 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 2940 KachelY 3448 -0.88664090 0.47772746 -50.800782 27.371767
    Unten links KachelX 2939 KachelY + 1 3449 -0.88740789 0.47704622 -50.844727 27.332735
    Unten rechts KachelX + 1 2940 KachelY + 1 3449 -0.88664090 0.47704622 -50.800782 27.332735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47704622) × R
    0.000681239999999972 × 6371000     		dl = 4340.18003999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47704622) × R
    0.000681239999999972 × 6371000     		dr = 4340.18003999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88740789--0.88664090) × cos(0.47772746) × R
    0.000766990000000023 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 4339.4114848922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88740789--0.88664090) × cos(0.47704622) × R
    0.000766990000000023 × 0.888355045457921 × 6371000     		du = 4340.94096876791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47704622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.888355045457921)×R²
    abs(-0.88664090--0.88740789)×0.000313002348501734×R²
    0.000766990000000023×0.000313002348501734×6371000²
    0.000766990000000023×0.000313002348501734×40589641000000     		ar = 18837146.9582779m²