Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29389 / 23084
↖ ↑ ↗
← N 46.875213°
W 18.561402°		 ← 417.57 m → N 46.875213°
W 18.555908°		 →
↑
417.56 m
↓
↑
417.56 m
↓
N 46.871458°
W 18.561402°		 ← 417.60 m →
174 365 m²		 N 46.871458°
W 18.555908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448448181152344 y=0.352241516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448448181152344 × 216)
    floor (0.448448181152344 × 65536)
    floor (29389.5)     		tx = 29389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352241516113281 × 216)
    floor (0.352241516113281 × 65536)
    floor (23084.5)     		ty = 23084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29389 / 23084 ti = "16/29389/23084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29389/23084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29389 ÷ 216
    29389 ÷ 65536     		x = 0.448440551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23084 ÷ 216
    23084 ÷ 65536     		y = 0.35223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448440551757812 × 2 - 1) × π
    -0.103118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32395757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35223388671875 × 2 - 1) × π
    0.2955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928441871841248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32395757} λ = -0.32395757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928441871841248))-π/2
    2×atan(2.53056316249656)-π/2
    2×1.19446156906226-π/2
    2.38892313812452-1.57079632675     		φ = 0.81812681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32395757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.561402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81812681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.875213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29389 KachelY 23084 -0.32395757 0.81812681 -18.561402 46.875213
    Oben rechts KachelX + 1 29390 KachelY 23084 -0.32386169 0.81812681 -18.555908 46.875213
    Unten links KachelX 29389 KachelY + 1 23085 -0.32395757 0.81806127 -18.561402 46.871458
    Unten rechts KachelX + 1 29390 KachelY + 1 23085 -0.32386169 0.81806127 -18.555908 46.871458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81812681-0.81806127) × R
    6.55400000000306e-05 × 6371000     		dl = 417.555340000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81812681-0.81806127) × R
    6.55400000000306e-05 × 6371000     		dr = 417.555340000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32395757--0.32386169) × cos(0.81812681) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683589584641018 × 6371000     		do = 417.571709490519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32395757--0.32386169) × cos(0.81806127) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.683637418630937 × 6371000     		du = 417.600928954055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81812681)-sin(0.81806127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683589584641018-0.683637418630937)×R²
    abs(-0.32386169--0.32395757)×4.78339899192548e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78339899192548e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78339899192548e-05×40589641000000     		ar = 174365.397564666m²