Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29388 / 23082
↖ ↑ ↗
← N 46.882723°
W 18.566894°		 ← 417.47 m → N 46.882723°
W 18.561402°		 →
↑
417.49 m
↓
↑
417.49 m
↓
N 46.878968°
W 18.566894°		 ← 417.50 m →
174 296 m²		 N 46.878968°
W 18.561402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448432922363281 y=0.352210998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448432922363281 × 216)
    floor (0.448432922363281 × 65536)
    floor (29388.5)     		tx = 29388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352210998535156 × 216)
    floor (0.352210998535156 × 65536)
    floor (23082.5)     		ty = 23082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29388 / 23082 ti = "16/29388/23082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29388/23082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29388 ÷ 216
    29388 ÷ 65536     		x = 0.44842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23082 ÷ 216
    23082 ÷ 65536     		y = 0.352203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32405344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352203369140625 × 2 - 1) × π
    0.29559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928633619439728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32405344} λ = -0.32405344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928633619439728))-π/2
    2×atan(2.53104843842953)-π/2
    2×1.19452710280674-π/2
    2.38905420561349-1.57079632675     		φ = 0.81825788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32405344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.566894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81825788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.882723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29388 KachelY 23082 -0.32405344 0.81825788 -18.566894 46.882723
    Oben rechts KachelX + 1 29389 KachelY 23082 -0.32395757 0.81825788 -18.561402 46.882723
    Unten links KachelX 29388 KachelY + 1 23083 -0.32405344 0.81819235 -18.566894 46.878968
    Unten rechts KachelX + 1 29389 KachelY + 1 23083 -0.32395757 0.81819235 -18.561402 46.878968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81825788-0.81819235) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dl = 417.491629999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81825788-0.81819235) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dr = 417.491629999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32405344--0.32395757) × cos(0.81825788) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.683493915151887 × 6371000     		do = 417.469724244423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32405344--0.32395757) × cos(0.81819235) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.683541747714745 × 6371000     		du = 417.498939788824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81825788)-sin(0.81819235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683493915151887-0.683541747714745)×R²
    abs(-0.32395757--0.32405344)×4.78325628583409e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.78325628583409e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.78325628583409e-05×40589641000000     		ar = 174296.214334972m²