Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29387 / 23067
↖ ↑ ↗
← N 46.939012°
W 18.572388°		 ← 417.08 m → N 46.939012°
W 18.566894°		 →
↑
417.05 m
↓
↑
417.05 m
↓
N 46.935261°
W 18.572388°		 ← 417.10 m →
173 945 m²		 N 46.935261°
W 18.566894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448417663574219 y=0.351982116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448417663574219 × 216)
    floor (0.448417663574219 × 65536)
    floor (29387.5)     		tx = 29387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351982116699219 × 216)
    floor (0.351982116699219 × 65536)
    floor (23067.5)     		ty = 23067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29387 / 23067 ti = "16/29387/23067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29387/23067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29387 ÷ 216
    29387 ÷ 65536     		x = 0.448410034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23067 ÷ 216
    23067 ÷ 65536     		y = 0.351974487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448410034179688 × 2 - 1) × π
    -0.103179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32414932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351974487304688 × 2 - 1) × π
    0.296051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.930071726428329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32414932} λ = -0.32414932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.930071726428329))-π/2
    2×atan(2.53469097542851)-π/2
    2×1.19501831354571-π/2
    2.39003662709141-1.57079632675     		φ = 0.81924030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32414932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.572388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81924030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.939012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29387 KachelY 23067 -0.32414932 0.81924030 -18.572388 46.939012
    Oben rechts KachelX + 1 29388 KachelY 23067 -0.32405344 0.81924030 -18.566894 46.939012
    Unten links KachelX 29387 KachelY + 1 23068 -0.32414932 0.81917484 -18.572388 46.935261
    Unten rechts KachelX + 1 29388 KachelY + 1 23068 -0.32405344 0.81917484 -18.566894 46.935261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81924030-0.81917484) × R
    6.54600000000727e-05 × 6371000     		dl = 417.045660000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81924030-0.81917484) × R
    6.54600000000727e-05 × 6371000     		dr = 417.045660000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32414932--0.32405344) × cos(0.81924030) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682776461851068 × 6371000     		do = 417.075012230857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32414932--0.32405344) × cos(0.81917484) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.682824287253553 × 6371000     		du = 417.104226448746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81924030)-sin(0.81917484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682776461851068-0.682824287253553)×R²
    abs(-0.32405344--0.32414932)×4.78254024846025e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78254024846025e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78254024846025e-05×40589641000000     		ar = 173945.415639064m²