Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29386 / 23081
↖ ↑ ↗
← N 46.886478°
W 18.577881°		 ← 417.44 m → N 46.886478°
W 18.572388°		 →
↑
417.49 m
↓
↑
417.49 m
↓
N 46.882723°
W 18.577881°		 ← 417.47 m →
174 284 m²		 N 46.882723°
W 18.572388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448402404785156 y=0.352195739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448402404785156 × 216)
    floor (0.448402404785156 × 65536)
    floor (29386.5)     		tx = 29386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352195739746094 × 216)
    floor (0.352195739746094 × 65536)
    floor (23081.5)     		ty = 23081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29386 / 23081 ti = "16/29386/23081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29386/23081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29386 ÷ 216
    29386 ÷ 65536     		x = 0.448394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23081 ÷ 216
    23081 ÷ 65536     		y = 0.352188110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.10321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32424519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352188110351562 × 2 - 1) × π
    0.295623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928729493238968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32424519} λ = -0.32424519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928729493238968))-π/2
    2×atan(2.53129111129219)-π/2
    2×1.1945598662395-π/2
    2.389119732479-1.57079632675     		φ = 0.81832341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32424519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.577881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81832341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.886478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29386 KachelY 23081 -0.32424519 0.81832341 -18.577881 46.886478
    Oben rechts KachelX + 1 29387 KachelY 23081 -0.32414932 0.81832341 -18.572388 46.886478
    Unten links KachelX 29386 KachelY + 1 23082 -0.32424519 0.81825788 -18.577881 46.882723
    Unten rechts KachelX + 1 29387 KachelY + 1 23082 -0.32414932 0.81825788 -18.572388 46.882723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81832341-0.81825788) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dl = 417.491629999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81832341-0.81825788) × R
    6.55299999999803e-05 × 6371000     		dr = 417.491629999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32424519--0.32414932) × cos(0.81832341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683446079653982 × 6371000     		do = 417.440506907089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32424519--0.32414932) × cos(0.81825788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.683493915151887 × 6371000     		du = 417.469724244181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81832341)-sin(0.81825788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683446079653982-0.683493915151887)×R²
    abs(-0.32414932--0.32424519)×4.7835497904769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7835497904769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7835497904769e-05×40589641000000     		ar = 174284.016716102m²