Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29384 / 29509
↖ ↑ ↗
← N 69.834888°
W 99.294434°		 ← 105.29 m → N 69.834888°
W 99.291687°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
N 69.833942°
W 99.294434°		 ← 105.29 m →
11 082 m²		 N 69.833942°
W 99.291687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224185943603516 y=0.225139617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224185943603516 × 217)
    floor (0.224185943603516 × 131072)
    floor (29384.5)     		tx = 29384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225139617919922 × 217)
    floor (0.225139617919922 × 131072)
    floor (29509.5)     		ty = 29509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29384 / 29509 ti = "17/29384/29509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29384/29509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29384 ÷ 217
    29384 ÷ 131072     		x = 0.22418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29509 ÷ 217
    29509 ÷ 131072     		y = 0.225135803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.5516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.73301480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225135803222656 × 2 - 1) × π
    0.549728393554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.72702268261176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73301480} λ = -1.73301480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72702268261176))-π/2
    2×atan(5.62388486723201)-π/2
    2×1.39482253082308-π/2
    2.78964506164615-1.57079632675     		φ = 1.21884873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73301480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21884873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.834888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29384 KachelY 29509 -1.73301480 1.21884873 -99.294434 69.834888
    Oben rechts KachelX + 1 29385 KachelY 29509 -1.73296686 1.21884873 -99.291687 69.834888
    Unten links KachelX 29384 KachelY + 1 29510 -1.73301480 1.21883221 -99.294434 69.833942
    Unten rechts KachelX + 1 29385 KachelY + 1 29510 -1.73296686 1.21883221 -99.291687 69.833942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21884873-1.21883221) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21884873-1.21883221) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73301480--1.73296686) × cos(1.21884873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344726675255269 × 6371000     		do = 105.288399887511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73301480--1.73296686) × cos(1.21883221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		du = 105.293136224719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21884873)-sin(1.21883221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344726675255269-0.344742182583523)×R²
    abs(-1.73296686--1.73301480)×1.55073282543938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55073282543938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55073282543938e-05×40589641000000     		ar = 11081.7396240085m²