Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29384 / 14677
↖ ↑ ↗
← N 69.981135°
W 18.588867°		 ← 209.11 m → N 69.981135°
W 18.583374°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
N 69.979254°
W 18.588867°		 ← 209.13 m →
43 740 m²		 N 69.979254°
W 18.583374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448371887207031 y=0.223960876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448371887207031 × 216)
    floor (0.448371887207031 × 65536)
    floor (29384.5)     		tx = 29384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223960876464844 × 216)
    floor (0.223960876464844 × 65536)
    floor (14677.5)     		ty = 14677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29384 / 14677 ti = "16/29384/14677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29384/14677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29384 ÷ 216
    29384 ÷ 65536     		x = 0.4483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14677 ÷ 216
    14677 ÷ 65536     		y = 0.223953247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223953247070312 × 2 - 1) × π
    0.552093505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73445290205287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32443694} λ = -0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73445290205287))-π/2
    2×atan(5.66582719328726)-π/2
    2×1.39609877092082-π/2
    2.79219754184164-1.57079632675     		φ = 1.22140122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22140122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.981135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29384 KachelY 14677 -0.32443694 1.22140122 -18.588867 69.981135
    Oben rechts KachelX + 1 29385 KachelY 14677 -0.32434106 1.22140122 -18.583374 69.981135
    Unten links KachelX 29384 KachelY + 1 14678 -0.32443694 1.22136839 -18.588867 69.979254
    Unten rechts KachelX + 1 29385 KachelY + 1 14678 -0.32434106 1.22136839 -18.583374 69.979254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22140122-1.22136839) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22140122-1.22136839) × R
    3.28299999998727e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32443694--0.32434106) × cos(1.22140122) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342329524586612 × 6371000     		do = 209.112496741412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32443694--0.32434106) × cos(1.22136839) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342360370812129 × 6371000     		du = 209.131339203922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22140122)-sin(1.22136839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342329524586612-0.342360370812129)×R²
    abs(-0.32434106--0.32443694)×3.08462255171893e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08462255171893e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08462255171893e-05×40589641000000     		ar = 43739.9257285231m²