Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29382 / 14674
↖ ↑ ↗
← N 69.986775°
W 18.599853°		 ← 209.03 m → N 69.986775°
W 18.594360°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
N 69.984895°
W 18.599853°		 ← 209.05 m →
43 697 m²		 N 69.984895°
W 18.594360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448341369628906 y=0.223915100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448341369628906 × 216)
    floor (0.448341369628906 × 65536)
    floor (29382.5)     		tx = 29382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223915100097656 × 216)
    floor (0.223915100097656 × 65536)
    floor (14674.5)     		ty = 14674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29382 / 14674 ti = "16/29382/14674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29382/14674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29382 ÷ 216
    29382 ÷ 65536     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14674 ÷ 216
    14674 ÷ 65536     		y = 0.223907470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223907470703125 × 2 - 1) × π
    0.55218505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73474052345059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73474052345059))-π/2
    2×atan(5.66745704080211)-π/2
    2×1.39614799491805-π/2
    2.7922959898361-1.57079632675     		φ = 1.22149966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22149966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.986775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29382 KachelY 14674 -0.32462868 1.22149966 -18.599853 69.986775
    Oben rechts KachelX + 1 29383 KachelY 14674 -0.32453281 1.22149966 -18.594360 69.986775
    Unten links KachelX 29382 KachelY + 1 14675 -0.32462868 1.22146685 -18.599853 69.984895
    Unten rechts KachelX + 1 29383 KachelY + 1 14675 -0.32453281 1.22146685 -18.594360 69.984895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22149966-1.22146685) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22149966-1.22146685) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32453281) × cos(1.22149966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342237030677081 × 6371000     		do = 209.034192778671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32453281) × cos(1.22146685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342267859216786 × 6371000     		du = 209.05302247369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22149966)-sin(1.22146685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342237030677081-0.342267859216786)×R²
    abs(-0.32453281--0.32462868)×3.08285397048191e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08285397048191e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08285397048191e-05×40589641000000     		ar = 43696.9100053507m²